Номер 33.18, страница 211, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 33. Системы уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 33.18, страница 211.

33.18. a) $\begin{cases} \frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x} = 12, \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{3}; \end{cases}$

б) $\begin{cases} xy(x + y) = 20, \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{4}. \end{cases}$

a) Область допустимых значений для данной системы уравнений: $x \neq 0$ и $y \neq 0$.

Начнем с преобразования второго уравнения системы: $ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x+y}{xy} = \frac{1}{3} $. Из этого следует, что $xy = 3(x+y)$.

Теперь преобразуем первое уравнение, приведя левую часть к общему знаменателю: $ \frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x} = \frac{x^3+y^3}{xy} = 12 $, что дает нам $x^3+y^3 = 12xy$.

Для удобства решения введем замену переменных. Пусть $S = x+y$ и $P = xy$. Используя формулу суммы кубов $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=(x+y)((x+y)^2-3xy)$, мы можем переписать исходную систему в терминах $S$ и $P$:

$ \begin{cases} P = 3S \\ S(S^2-3P) = 12P \end{cases} $

Подставим выражение для $P$ из первого уравнения во второе:

$ S(S^2 - 3(3S)) = 12(3S) $

$ S(S^2 - 9S) = 36S $

$ S^3 - 9S^2 - 36S = 0 $

$ S(S^2 - 9S - 36) = 0 $

Это уравнение имеет три возможных решения для $S$.
Если $S=0$, то $P=3S=0$. Система $x+y=0$ и $xy=0$ приводит к $x=0$ или $y=0$, что противоречит области допустимых значений. Следовательно, $S \neq 0$.

Остается решить квадратное уравнение $S^2 - 9S - 36 = 0$. Используя формулу для корней квадратного уравнения, получаем:$ S = \frac{-(-9) \pm \sqrt{(-9)^2 - 4(1)(-36)}}{2(1)} = \frac{9 \pm \sqrt{81+144}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{225}}{2} = \frac{9 \pm 15}{2} $.Отсюда $S_1 = \frac{9+15}{2} = 12$ и $S_2 = \frac{9-15}{2} = -3$.

Рассмотрим оба случая:

1. Если $S=12$, то $P=3S=36$. Нам нужно найти $x$ и $y$ из системы $\begin{cases} x+y=12 \\ xy=36 \end{cases}$. По теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 12t + 36 = 0$, или $(t-6)^2=0$. Единственный корень $t=6$, значит, $x=6$ и $y=6$.

2. Если $S=-3$, то $P=3S=-9$. Решаем систему $\begin{cases} x+y=-3 \\ xy=-9 \end{cases}$. $x$ и $y$ являются корнями уравнения $t^2 - (-3)t - 9 = 0$, то есть $t^2+3t-9=0$. Корни этого уравнения: $t = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(-9)}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{45}}{2} = \frac{-3 \pm 3\sqrt{5}}{2}$. Это дает нам две пары решений.

Ответ: $(6; 6)$, $(\frac{-3+3\sqrt{5}}{2}; \frac{-3-3\sqrt{5}}{2})$, $(\frac{-3-3\sqrt{5}}{2}; \frac{-3+3\sqrt{5}}{2})$.

б) Область допустимых значений: $x \neq 0$ и $y \neq 0$.

Преобразуем второе уравнение: $ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x+y}{xy} = \frac{5}{4} $, откуда $4(x+y) = 5xy$.

Введем замену $S=x+y$ и $P=xy$. Система уравнений принимает вид:

$ \begin{cases} PS = 20 \\ 4S = 5P \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $S$: $S = \frac{5}{4}P$. Подставим это в первое уравнение:

$ P(\frac{5}{4}P) = 20 $

$ \frac{5}{4}P^2 = 20 $

$ P^2 = 20 \cdot \frac{4}{5} = 16 $

Следовательно, $P=4$ или $P=-4$.

Рассмотрим оба случая:

1. Если $P=4$, то $S=\frac{5}{4}(4) = 5$. Решаем систему $\begin{cases} x+y=5 \\ xy=4 \end{cases}$. По теореме Виета, $x$ и $y$ — корни уравнения $t^2 - 5t + 4 = 0$. Факторизуя, получаем $(t-1)(t-4)=0$, откуда $t_1=1$, $t_2=4$. Это дает две пары решений: $(1; 4)$ и $(4; 1)$.

2. Если $P=-4$, то $S=\frac{5}{4}(-4) = -5$. Решаем систему $\begin{cases} x+y=-5 \\ xy=-4 \end{cases}$. $x$ и $y$ — корни уравнения $t^2 - (-5)t - 4 = 0$, то есть $t^2+5t-4=0$. Найдем корни по формуле: $t = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4(1)(-4)}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25+16}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{41}}{2}$. Это дает еще две пары решений.

Ответ: $(1; 4)$, $(4; 1)$, $(\frac{-5+\sqrt{41}}{2}; \frac{-5-\sqrt{41}}{2})$, $(\frac{-5-\sqrt{41}}{2}; \frac{-5+\sqrt{41}}{2})$.