Номер 33.14, страница 211, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 33. Системы уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 33.14, страница 211.

33.14. a) $\begin{cases} \frac{x}{y} - xy = -9, \\ 2xy - \frac{3y}{x} = 23; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{x + y}{x - y} + \frac{x}{y} = -\frac{5}{6}, \\ \frac{x^2 + xy}{xy - y^2} = \frac{1}{6}. \end{cases}$

a)

Исходная система уравнений:

$\begin{cases} \frac{x}{y} - xy = -9 \\ 2xy - \frac{3y}{x} = 23 \end{cases}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0, y \neq 0$.

Для решения системы введем новые переменные. Пусть $a = \frac{x}{y}$ и $b = xy$. Тогда $\frac{y}{x} = \frac{1}{a}$.

Подставив новые переменные в исходную систему, получим:

$\begin{cases} a - b = -9 \\ 2b - \frac{3}{a} = 23 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $b$: $b = a + 9$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$2(a + 9) - \frac{3}{a} = 23$

$2a + 18 - \frac{3}{a} = 23$

$2a - \frac{3}{a} = 5$

Умножим обе части уравнения на $a$ (мы знаем, что $a \neq 0$, так как $x, y \neq 0$):

$2a^2 - 3 = 5a$

$2a^2 - 5a - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $a$. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.

Корни уравнения для $a$:

$a_1 = \frac{5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$

$a_2 = \frac{5 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Теперь рассмотрим два случая, соответствующие найденным значениям $a$.

Случай 1: $a = 3$.

Находим соответствующее значение $b$: $b = a + 9 = 3 + 9 = 12$.

Возвращаемся к переменным $x$ и $y$:

$\begin{cases} \frac{x}{y} = 3 \\ xy = 12 \end{cases}$

Из первого уравнения получаем $x = 3y$. Подставляем во второе уравнение:

$(3y)y = 12 \implies 3y^2 = 12 \implies y^2 = 4$.

Отсюда $y_1 = 2$ и $y_2 = -2$.

Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 3 \cdot 2 = 6$. Получаем решение $(6; 2)$.

Если $y_2 = -2$, то $x_2 = 3 \cdot (-2) = -6$. Получаем решение $(-6; -2)$.

Случай 2: $a = -\frac{1}{2}$.

Находим соответствующее значение $b$: $b = a + 9 = -\frac{1}{2} + 9 = \frac{17}{2}$.

Возвращаемся к переменным $x$ и $y$:

$\begin{cases} \frac{x}{y} = -\frac{1}{2} \\ xy = \frac{17}{2} \end{cases}$

Из первого уравнения получаем $x = -\frac{1}{2}y$. Подставляем во второе уравнение:

$(-\frac{1}{2}y)y = \frac{17}{2} \implies -\frac{1}{2}y^2 = \frac{17}{2} \implies y^2 = -17$.

Данное уравнение не имеет действительных решений, поэтому в этом случае решений для $(x, y)$ нет.

Ответ: $(6; 2), (-6; -2)$.

б)

Исходная система уравнений:

$\begin{cases} \frac{x+y}{x-y} + \frac{x}{y} = -\frac{5}{6} \\ \frac{x^2+xy}{xy-y^2} = \frac{1}{6} \end{cases}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $y \neq 0$ и $x-y \neq 0$ (т.е. $x \neq y$).

Преобразуем второе уравнение системы, вынеся общие множители в числителе и знаменателе:

$\frac{x(x+y)}{y(x-y)} = \frac{1}{6}$

Данное выражение можно представить как произведение двух дробей:

$(\frac{x+y}{x-y}) \cdot (\frac{x}{y}) = \frac{1}{6}$

Введем новые переменные: пусть $u = \frac{x+y}{x-y}$ и $v = \frac{x}{y}$.

Система в новых переменных будет выглядеть так:

$\begin{cases} u + v = -\frac{5}{6} \\ u \cdot v = \frac{1}{6} \end{cases}$

По теореме, обратной теореме Виета, $u$ и $v$ являются корнями квадратного уравнения:

$z^2 - (u+v)z + uv = 0$

$z^2 - (-\frac{5}{6})z + \frac{1}{6} = 0$

$z^2 + \frac{5}{6}z + \frac{1}{6} = 0$

Умножим уравнение на 6, чтобы избавиться от знаменателей:

$6z^2 + 5z + 1 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$.

$z_1 = \frac{-5 - 1}{2 \cdot 6} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$

$z_2 = \frac{-5 + 1}{2 \cdot 6} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$

Следовательно, решениями для пары $(u, v)$ являются $(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{3})$ и $(-\frac{1}{3}, -\frac{1}{2})$.

Выразим $u$ через $v$, чтобы проверить зависимость между ними. Разделим числитель и знаменатель в выражении для $u$ на $y$ (это возможно, так как $y \neq 0$):

$u = \frac{x+y}{x-y} = \frac{\frac{x}{y}+1}{\frac{x}{y}-1} = \frac{v+1}{v-1}$

Эта зависимость показывает, что значение $u$ однозначно определяется значением $v$. Таким образом, исходные два уравнения системы не являются независимыми. Решение системы сводится к нахождению таких пар $(x, y)$, для которых отношение $\frac{x}{y}$ равно одному из найденных значений $z_1$ или $z_2$.

Случай 1: $v = \frac{x}{y} = -\frac{1}{2}$.

Это соотношение определяет первую серию решений: все пары $(x,y)$, где $y = -2x$. Условие $x \neq 0$ обеспечивает выполнение ОДЗ ($y \neq 0$ и $x \neq y$). Решения можно записать в виде $(k; -2k)$ для любого действительного $k \neq 0$.

Случай 2: $v = \frac{x}{y} = -\frac{1}{3}$.

Это соотношение определяет вторую серию решений: все пары $(x,y)$, где $y = -3x$. Условие $x \neq 0$ обеспечивает выполнение ОДЗ. Решения можно записать в виде $(k; -3k)$ для любого действительного $k \neq 0$.

Ответ: все пары чисел вида $(k; -2k)$ и $(k; -3k)$, где $k$ — любое действительное число, не равное нулю.