Номер 33.9, страница 210, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 33. Системы уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 33.9, страница 210.

33.9. a) $\begin{cases}y - 1 = \sin \left( x - \frac{\pi}{2} \right), \\y + x^2 = 0;\end{cases}$

б) $\begin{cases}y = \sin 2x, \\y - 1 = 2x - \frac{\pi}{2}.\end{cases}$

а)

Дана система уравнений:$\begin{cases}y - 1 = \sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right), \\y + x^2 = 0;\end{cases}$

Преобразуем первое уравнение, используя формулу приведения $\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right) = -\cos(\alpha)$:
$y - 1 = -\cos(x)$
$y = 1 - \cos(x)$

Из второго уравнения системы выразим $y$:
$y = -x^2$

Приравняем правые части полученных выражений для $y$:
$1 - \cos(x) = -x^2$
$x^2 + 1 = \cos(x)$

Рассмотрим левую и правую части уравнения как две функции: $g(x) = x^2 + 1$ и $f(x) = \cos(x)$.
Область значений функции $f(x) = \cos(x)$ есть отрезок $[-1, 1]$, то есть $\cos(x) \le 1$ для любого $x$.
Функция $g(x) = x^2 + 1$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(0, 1)$. Таким образом, наименьшее значение функции $g(x)$ равно 1, то есть $x^2 + 1 \ge 1$ для любого $x$.

Равенство $x^2 + 1 = \cos(x)$ возможно только в том случае, когда обе части уравнения одновременно равны 1.$\begin{cases}x^2 + 1 = 1, \\\cos(x) = 1;\end{cases}$
Из первого уравнения системы получаем $x^2 = 0$, откуда $x=0$.

Подставим это значение во второе уравнение, чтобы проверить его:
$\cos(0) = 1$.
Равенство верное. Следовательно, единственным решением уравнения является $x=0$.

Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x=0$ во второе уравнение исходной системы $y = -x^2$:
$y = -0^2 = 0$.

Таким образом, решение системы — пара чисел $(0, 0)$.

Ответ: $(0, 0)$.

б)

Дана система уравнений:$\begin{cases}y = \sin 2x, \\y - 1 = 2x - \frac{\pi}{2};\end{cases}$

Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:
$\sin(2x) - 1 = 2x - \frac{\pi}{2}$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2x - \frac{\pi}{2}$. Тогда $2x = t + \frac{\pi}{2}$.
Уравнение примет вид:
$\sin\left(t + \frac{\pi}{2}\right) - 1 = t$

Используя формулу приведения $\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) = \cos(\alpha)$, получаем:
$\cos(t) - 1 = t$
$\cos(t) = t + 1$

Рассмотрим левую и правую части уравнения как две функции: $f(t) = \cos(t)$ и $g(t) = t+1$.
Легко заметить, что $t=0$ является корнем, так как $\cos(0) = 1$ и $0+1=1$.

Чтобы доказать, что это единственное решение, рассмотрим функцию $h(t) = \cos(t) - (t+1)$. Нам нужно найти нули этой функции.
Найдем производную: $h'(t) = (\cos(t) - t - 1)' = -\sin(t) - 1$.

Так как область значений функции $\sin(t)$ есть отрезок $[-1, 1]$, то $-\sin(t)$ также принимает значения от -1 до 1.
Следовательно, $h'(t) = -\sin(t) - 1 \le 1 - 1 = 0$.
Производная $h'(t)$ всегда неположительна, то есть функция $h(t)$ является невозрастающей на всей числовой прямой.

Поскольку функция $h(t)$ не возрастает и $h(0) = \cos(0) - (0+1) = 1 - 1 = 0$, то при $t > 0$ будет выполняться $h(t) < 0$, а при $t < 0$ будет выполняться $h(t) > 0$. Равенство $h(t)=0$ возможно только в точке $t=0$.
Следовательно, $t=0$ — единственный корень уравнения.

Вернемся к исходной переменной $x$:
$t = 2x - \frac{\pi}{2}$
$0 = 2x - \frac{\pi}{2}$
$2x = \frac{\pi}{2}$
$x = \frac{\pi}{4}$

Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x = \frac{\pi}{4}$ в первое уравнение исходной системы $y = \sin(2x)$:
$y = \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$.

Таким образом, решение системы — пара чисел $\left(\frac{\pi}{4}, 1\right)$.

Ответ: $\left(\frac{\pi}{4}, 1\right)$.