Номер 33.2, страница 209, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 33. Системы уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 33.2, страница 209.

33.2. a) $ \begin{cases} x + y = \frac{\pi}{4}, \\ \sin x \sin y = -\frac{1}{2\sqrt{2}}; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 3x = y + 1, \\ 7^{y-2x+2} = 7^{y-4x+1} + 6; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} x = 2y, \\ \log_{\frac{1}{3}}(2y + x) + \log_{\frac{1}{3}}(x - y + 1) = \log_3 \frac{1}{y + 1}; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} \sqrt{7 - 6x - y^2} = y + 5, \\ y = x - 1. \end{cases} $

a)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x + y = \frac{\pi}{4} \\ \sin x \sin y = -\frac{1}{2\sqrt{2}} \end{cases} $$

Воспользуемся формулой произведения синусов: $ \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)) $.

Применим эту формулу ко второму уравнению системы:

$ \frac{1}{2}(\cos(x-y) - \cos(x+y)) = -\frac{1}{2\sqrt{2}} $.

Из первого уравнения системы известно, что $ x + y = \frac{\pi}{4} $. Найдем косинус этой суммы:

$ \cos(x+y) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Подставим это значение в преобразованное второе уравнение:

$ \frac{1}{2}\left(\cos(x-y) - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{1}{2\sqrt{2}} $.

Умножим обе части уравнения на 2:

$ \cos(x-y) - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{1}{\sqrt{2}} $.

Упростим правую часть: $ -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

$ \cos(x-y) - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Отсюда получаем $ \cos(x-y) = 0 $.

Решением этого уравнения является $ x - y = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Теперь решим систему из двух линейных уравнений относительно $x$ и $y$:

$$ \begin{cases} x + y = \frac{\pi}{4} \\ x - y = \frac{\pi}{2} + \pi k \end{cases} $$

Сложим эти два уравнения:

$ 2x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} + \pi k = \frac{3\pi}{4} + \pi k $.

$ x = \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi k}{2} $.

Вычтем второе уравнение из первого:

$ 2y = \frac{\pi}{4} - \left(\frac{\pi}{2} + \pi k\right) = \frac{\pi}{4} - \frac{2\pi}{4} - \pi k = -\frac{\pi}{4} - \pi k $.

$ y = -\frac{\pi}{8} - \frac{\pi k}{2} $.

Ответ: $ \left( \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}; -\frac{\pi}{8} - \frac{\pi k}{2} \right) $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 3x = y + 1 \\ 7y - 2x + 2 = 7y - 4x + 1 + 6 \end{cases} $$

Упростим второе уравнение системы:

$ 7y - 2x + 2 = 7y - 4x + 7 $.

Сократим $7y$ в обеих частях уравнения:

$ -2x + 2 = -4x + 7 $.

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а константы — в правую:

$ -2x + 4x = 7 - 2 $.

$ 2x = 5 $.

$ x = \frac{5}{2} $.

Теперь подставим найденное значение $x$ в первое уравнение системы, чтобы найти $y$:

$ 3x = y + 1 $.

$ 3 \cdot \frac{5}{2} = y + 1 $.

$ \frac{15}{2} = y + 1 $.

$ y = \frac{15}{2} - 1 = \frac{15}{2} - \frac{2}{2} = \frac{13}{2} $.

Ответ: $ \left(\frac{5}{2}; \frac{13}{2}\right) $.

в)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x = 2y \\ \log_{\frac{1}{3}}(2y+x) + \log_{\frac{1}{3}}(x-y+1) = \log_3 \frac{1}{y+1} \end{cases} $$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$$ \begin{cases} 2y + x > 0 \\ x - y + 1 > 0 \\ \frac{1}{y+1} > 0 \end{cases} $$

Из третьего неравенства следует, что $ y+1 > 0 $, то есть $ y > -1 $.

Преобразуем второе уравнение системы. Сначала приведем логарифм в правой части к основанию $ \frac{1}{3} $.

$ \log_3 \frac{1}{y+1} = \log_3 (y+1)^{-1} = -\log_3(y+1) $.

Используя свойство $ \log_{1/a} b = -\log_a b $, получаем $ -\log_3(y+1) = \log_{1/3}(y+1) $.

Теперь уравнение имеет вид:

$ \log_{\frac{1}{3}}(2y+x) + \log_{\frac{1}{3}}(x-y+1) = \log_{\frac{1}{3}}(y+1) $.

Воспользуемся свойством суммы логарифмов $ \log_a M + \log_a N = \log_a (MN) $:

$ \log_{\frac{1}{3}}((2y+x)(x-y+1)) = \log_{\frac{1}{3}}(y+1) $.

Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы:

$ (2y+x)(x-y+1) = y+1 $.

Теперь подставим $ x = 2y $ из первого уравнения системы в полученное уравнение:

$ (2y+2y)(2y-y+1) = y+1 $.

$ (4y)(y+1) = y+1 $.

Перенесем все члены в левую часть:

$ 4y(y+1) - (y+1) = 0 $.

Вынесем общий множитель $ (y+1) $ за скобки:

$ (y+1)(4y-1) = 0 $.

Это уравнение дает два возможных значения для $y$:

1) $ y+1 = 0 \implies y = -1 $.

2) $ 4y-1 = 0 \implies y = \frac{1}{4} $.

Проверим найденные значения $y$ на соответствие ОДЗ.

Для $ y = -1 $: это значение не удовлетворяет условию ОДЗ $ y > -1 $, следовательно, это посторонний корень.

Для $ y = \frac{1}{4} $: это значение удовлетворяет условию $ y > -1 $. Найдем соответствующее значение $x$:

$ x = 2y = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2} $.

Проверим оставшиеся условия ОДЗ для пары $ \left(\frac{1}{2}; \frac{1}{4}\right) $:

$ 2y+x = 2\left(\frac{1}{4}\right) + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 > 0 $ (верно).

$ x-y+1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + 1 = \frac{2}{4} - \frac{1}{4} + \frac{4}{4} = \frac{5}{4} > 0 $ (верно).

Таким образом, единственным решением системы является пара $ \left(\frac{1}{2}; \frac{1}{4}\right) $.

Ответ: $ \left(\frac{1}{2}; \frac{1}{4}\right) $.

г)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \sqrt{7-6x-y^2} = y+5 \\ y = x-1 \end{cases} $$

Определим область допустимых значений (ОДЗ).

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $ 7-6x-y^2 \ge 0 $.

2. Правая часть первого уравнения должна быть неотрицательной, так как она равна значению арифметического квадратного корня: $ y+5 \ge 0 \implies y \ge -5 $.

Выразим $x$ из второго уравнения: $ x = y+1 $.

Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$ \sqrt{7-6(y+1)-y^2} = y+5 $.

$ \sqrt{7-6y-6-y^2} = y+5 $.

$ \sqrt{1-6y-y^2} = y+5 $.

Поскольку мы уже установили, что $ y+5 \ge 0 $, мы можем возвести обе части уравнения в квадрат:

$ 1-6y-y^2 = (y+5)^2 $.

$ 1-6y-y^2 = y^2 + 10y + 25 $.

Перенесем все слагаемые в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$ 0 = y^2 + 10y + 25 - (1-6y-y^2) $.

$ 0 = y^2 + 10y + 25 - 1 + 6y + y^2 $.

$ 2y^2 + 16y + 24 = 0 $.

Разделим уравнение на 2:

$ y^2 + 8y + 12 = 0 $.

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -8, а произведение равно 12. Корнями являются $ y_1 = -2 $ и $ y_2 = -6 $.

Теперь проверим найденные корни на соответствие ОДЗ, в частности, условию $ y \ge -5 $.

1. Для $ y_1 = -2 $: $ -2 \ge -5 $. Это верно.

2. Для $ y_2 = -6 $: $ -6 \ge -5 $. Это неверно. Следовательно, $ y=-6 $ является посторонним корнем.

Единственный подходящий корень - $ y = -2 $.

Найдем соответствующее значение $x$ из уравнения $ x = y+1 $:

$ x = -2 + 1 = -1 $.

Итак, решение системы - пара $ (-1; -2) $.

Проверим также первое условие ОДЗ $ 7-6x-y^2 \ge 0 $ для этой пары:

$ 7 - 6(-1) - (-2)^2 = 7 + 6 - 4 = 9 \ge 0 $. Условие выполнено.

Ответ: $ (-1; -2) $.