Номер 33.1, страница 208, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 33. Системы уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 33.1, страница 208.

Решите систему уравнений методом подстановки:

33.1. a) $\begin{cases} x + y = 3, \\ x^2 + 2y^2 - xy + 2x - 3y = 3; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = 2 + x, \\ x^3 - y^3 = -8; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x + y = 5, \\ x^3 + y^3 = 35; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x + 2y = 1, \\ 2x^2 + 3xy - 3y^2 = 6. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x + y = 3, \\ x^2 + 2y^2 - xy + 2x - 3y = 3; \end{cases}$

1. Из первого уравнения выразим переменную $y$ через $x$:

$y = 3 - x$

2. Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$x^2 + 2(3 - x)^2 - x(3 - x) + 2x - 3(3 - x) = 3$

3. Раскроем скобки и упростим уравнение:

$x^2 + 2(9 - 6x + x^2) - (3x - x^2) + 2x - (9 - 3x) = 3$

$x^2 + 18 - 12x + 2x^2 - 3x + x^2 + 2x - 9 + 3x = 3$

4. Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 + 2x^2 + x^2) + (-12x - 3x + 2x + 3x) + (18 - 9) = 3$

$4x^2 - 10x + 9 = 3$

5. Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$4x^2 - 10x + 6 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:

$2x^2 - 5x + 3 = 0$

6. Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

7. Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив значения $x$ в выражение $y = 3 - x$:

Если $x_1 = \frac{3}{2}$, то $y_1 = 3 - \frac{3}{2} = \frac{6-3}{2} = \frac{3}{2}$.

Если $x_2 = 1$, то $y_2 = 3 - 1 = 2$.

Ответ: $(\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$; $(1, 2)$.

---

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} y = 2 + x, \\ x^3 - y^3 = -8; \end{cases}$

1. В первом уравнении уже выражена переменная $y$. Подставим выражение $y = 2 + x$ во второе уравнение:

$x^3 - (2 + x)^3 = -8$

2. Раскроем куб суммы по формуле $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:

$(2 + x)^3 = 2^3 + 3 \cdot 2^2 \cdot x + 3 \cdot 2 \cdot x^2 + x^3 = 8 + 12x + 6x^2 + x^3$

3. Подставим раскрытое выражение в уравнение и упростим:

$x^3 - (8 + 12x + 6x^2 + x^3) = -8$

$x^3 - 8 - 12x - 6x^2 - x^3 = -8$

$-6x^2 - 12x - 8 = -8$

4. Перенесем все члены в одну сторону:

$-6x^2 - 12x = 0$

Разделим уравнение на -6:

$x^2 + 2x = 0$

5. Решим полученное неполное квадратное уравнение, вынеся $x$ за скобки:

$x(x + 2) = 0$

Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 0$

$x_2 = -2$

6. Найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = 2 + x$:

Если $x_1 = 0$, то $y_1 = 2 + 0 = 2$.

Если $x_2 = -2$, то $y_2 = 2 + (-2) = 0$.

Ответ: $(0, 2)$; $(-2, 0)$.

---

в)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x + y = 5, \\ x^3 + y^3 = 35; \end{cases}$

1. Из первого уравнения выразим $y$:

$y = 5 - x$

2. Подставим это выражение во второе уравнение:

$x^3 + (5 - x)^3 = 35$

3. Раскроем куб разности по формуле $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$:

$(5 - x)^3 = 5^3 - 3 \cdot 5^2 \cdot x + 3 \cdot 5 \cdot x^2 - x^3 = 125 - 75x + 15x^2 - x^3$

4. Подставим в уравнение и упростим:

$x^3 + 125 - 75x + 15x^2 - x^3 = 35$

$15x^2 - 75x + 125 = 35$

5. Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:

$15x^2 - 75x + 125 - 35 = 0$

$15x^2 - 75x + 90 = 0$

Разделим обе части на 15:

$x^2 - 5x + 6 = 0$

6. Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Следовательно, корни $x_1=2$ и $x_2=3$.

Или через разложение на множители: $(x-2)(x-3) = 0$.

$x_1 = 2$

$x_2 = 3$

7. Найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = 5 - x$:

Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 5 - 2 = 3$.

Если $x_2 = 3$, то $y_2 = 5 - 3 = 2$.

Ответ: $(2, 3)$; $(3, 2)$.

---

г)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x + 2y = 1, \\ 2x^2 + 3xy - 3y^2 = 6. \end{cases}$

1. Из первого уравнения выразим $x$:

$x = 1 - 2y$

2. Подставим это выражение во второе уравнение:

$2(1 - 2y)^2 + 3(1 - 2y)y - 3y^2 = 6$

3. Раскроем скобки и упростим:

$2(1 - 4y + 4y^2) + (3y - 6y^2) - 3y^2 = 6$

$2 - 8y + 8y^2 + 3y - 6y^2 - 3y^2 = 6$

4. Приведем подобные слагаемые:

$(8y^2 - 6y^2 - 3y^2) + (-8y + 3y) + 2 = 6$

$-y^2 - 5y + 2 = 6$

5. Перенесем все члены в одну сторону:

$-y^2 - 5y - 4 = 0$

Умножим уравнение на -1:

$y^2 + 5y + 4 = 0$

6. Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -5, а произведение 4. Корни $y_1 = -1$ и $y_2 = -4$.

Или через разложение на множители: $(y+1)(y+4) = 0$.

$y_1 = -1$

$y_2 = -4$

7. Найдем соответствующие значения $x$, используя формулу $x = 1 - 2y$:

Если $y_1 = -1$, то $x_1 = 1 - 2(-1) = 1 + 2 = 3$.

Если $y_2 = -4$, то $x_2 = 1 - 2(-4) = 1 + 8 = 9$.

Ответ: $(3, -1)$; $(9, -4)$.