Номер 33.3, страница 209, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 33. Системы уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 33.3, страница 209.

Решите систему уравнений методом алгебраического сложения:

33.3. а) $\begin{cases} 3x + 2y = 1 \\ x - y = -3 \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2\sqrt{x} - 3\sqrt{y} = 1 \\ 3\sqrt{x} - 2\sqrt{y} = 4 \end{cases}$

в) $\begin{cases} x + y^2 = 2 \\ 2y^2 + x^2 = 3 \end{cases}$

г) $\begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{y} = 3 \\ 3\sqrt[3]{x} - 5\sqrt[4]{y} = 1 \end{cases}$

а) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 3x + 2y = 1, \\ x - y = -3; \end{cases} $
Чтобы применить метод алгебраического сложения, умножим второе уравнение на 2. Это позволит нам получить противоположные коэффициенты при переменной $y$.
$2 \cdot (x - y) = 2 \cdot (-3)$
$2x - 2y = -6$
Теперь сложим первое уравнение ($3x + 2y = 1$) с полученным новым вторым уравнением ($2x - 2y = -6$):
$(3x + 2y) + (2x - 2y) = 1 + (-6)$
$5x = -5$
$x = -1$
Теперь подставим найденное значение $x = -1$ во второе исходное уравнение ($x - y = -3$):
$(-1) - y = -3$
$-y = -3 + 1$
$-y = -2$
$y = 2$
Таким образом, решением системы является пара чисел $(-1; 2)$.
Ответ: $(-1; 2)$.

б) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 2\sqrt{x} - 3\sqrt{y} = 1, \\ 3\sqrt{x} - 2\sqrt{y} = 4; \end{cases} $
Для упрощения введем замену переменных. Пусть $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$, где по определению корня $a \ge 0, b \ge 0$. Система примет вид:
$ \begin{cases} 2a - 3b = 1, \\ 3a - 2b = 4; \end{cases} $
Умножим первое уравнение на 3, а второе на -2, чтобы коэффициенты при переменной $a$ стали противоположными.
$3(2a - 3b) = 3 \cdot 1 \implies 6a - 9b = 3$
$-2(3a - 2b) = -2 \cdot 4 \implies -6a + 4b = -8$
Сложим полученные уравнения:
$(6a - 9b) + (-6a + 4b) = 3 + (-8)$
$-5b = -5$
$b = 1$
Подставим $b=1$ в первое уравнение новой системы ($2a - 3b = 1$):
$2a - 3(1) = 1$
$2a = 4$
$a = 2$
Выполним обратную замену:
$\sqrt{x} = a = 2 \implies x = 4$
$\sqrt{y} = b = 1 \implies y = 1$
Оба значения неотрицательны, что соответствует условиям.
Ответ: $(4; 1)$.

в) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x + y^2 = 2, \\ 2y^2 + x^2 = 3; \end{cases} $
Умножим первое уравнение на -2, чтобы при сложении уравнений исключить член $y^2$.
$-2(x + y^2) = -2 \cdot 2 \implies -2x - 2y^2 = -4$
Сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы ($2y^2 + x^2 = 3$):
$(-2x - 2y^2) + (2y^2 + x^2) = -4 + 3$
$x^2 - 2x = -1$
$x^2 - 2x + 1 = 0$
Это полный квадрат разности: $(x-1)^2 = 0$.
Отсюда следует, что $x - 1 = 0$, то есть $x = 1$.
Подставим $x=1$ в первое исходное уравнение ($x + y^2 = 2$):
$1 + y^2 = 2$
$y^2 = 1$
$y = 1$ или $y = -1$.
Мы получили две пары решений: $(1; 1)$ и $(1; -1)$.
Ответ: $(1; 1)$, $(1; -1)$.

г) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{y} = 3, \\ 3\sqrt[3]{x} - 5\sqrt[4]{y} = 1; \end{cases} $
Введем замену переменных. Пусть $a = \sqrt[3]{x}$ и $b = \sqrt[4]{y}$ (где $b \ge 0$). Система перепишется в виде:
$ \begin{cases} a + b = 3, \\ 3a - 5b = 1; \end{cases} $
Умножим первое уравнение на -3, чтобы исключить переменную $a$ при сложении.
$-3(a + b) = -3 \cdot 3 \implies -3a - 3b = -9$
Сложим это уравнение со вторым уравнением системы ($3a - 5b = 1$):
$(-3a - 3b) + (3a - 5b) = -9 + 1$
$-8b = -8$
$b = 1$
Подставим $b=1$ в первое уравнение новой системы ($a + b = 3$):
$a + 1 = 3$
$a = 2$
Произведем обратную замену:
$\sqrt[3]{x} = a = 2 \implies x = 2^3 = 8$
$\sqrt[4]{y} = b = 1 \implies y = 1^4 = 1$
Значение $b=1$ удовлетворяет условию $b \ge 0$.
Ответ: $(8; 1)$.