Номер 32.42, страница 208, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 32. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 32.42, страница 208.

32.42. Решите неравенство

$\log_2 (\cos^2 xy + \cos^{-2} xy) \le \frac{1}{y^2 + 2y + 2}$

Данное неравенство имеет вид:

$$ \log_{2}(\cos^2 xy + \cos^{-2} xy) \le \frac{1}{y^2 + 2y + 2} $$

Для решения задачи оценим левую и правую части неравенства по отдельности.

Оценка левой части неравенства

Рассмотрим выражение, стоящее под знаком логарифма: $ \cos^2 xy + \cos^{-2} xy $. Отметим, что $ \cos^{-2} xy $ это то же самое, что и $ \frac{1}{\cos^2 xy} $. Это выражение определено, только если $ \cos(xy) \neq 0 $, что эквивалентно $ \cos^2 xy > 0 $.

Пусть $ a = \cos^2 xy $. Учитывая, что $ 0 \le \cos^2 t \le 1 $ для любого $ t $, и наше условие $ \cos^2 xy \neq 0 $, получаем $ 0 < a \le 1 $.

Аргумент логарифма принимает вид $ a + \frac{1}{a} $. Воспользуемся неравенством о средних для двух положительных чисел $ a $ и $ \frac{1}{a} $ (неравенство Коши):

$$ a + \frac{1}{a} \ge 2\sqrt{a \cdot \frac{1}{a}} = 2 $$

Равенство в этом неравенстве достигается тогда и только тогда, когда $ a = \frac{1}{a} $, что означает $ a^2 = 1 $. Так как $ a > 0 $, то $ a=1 $.Таким образом, мы установили, что $ \cos^2 xy + \cos^{-2} xy \ge 2 $.

Логарифмическая функция с основанием $ 2 > 1 $ является возрастающей. Поэтому, применяя логарифм к обеим частям полученного неравенства, имеем:

$$ \log_{2}(\cos^2 xy + \cos^{-2} xy) \ge \log_2 2 = 1 $$

Следовательно, значение левой части исходного неравенства всегда не меньше 1.

Оценка правой части неравенства

Рассмотрим знаменатель дроби в правой части неравенства: $ y^2 + 2y + 2 $. Выделим в нем полный квадрат:

$$ y^2 + 2y + 2 = (y^2 + 2y + 1) + 1 = (y + 1)^2 + 1 $$

Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, $ (y + 1)^2 \ge 0 $. Отсюда следует, что знаменатель $ (y + 1)^2 + 1 \ge 1 $. Минимальное значение знаменателя, равное 1, достигается при $ y = -1 $.

Поскольку знаменатель всегда не меньше 1, для всей дроби справедлива следующая оценка:

$$ \frac{1}{y^2 + 2y + 2} = \frac{1}{(y+1)^2 + 1} \le \frac{1}{1} = 1 $$

Следовательно, значение правой части исходного неравенства всегда не больше 1.

Нахождение решения

Мы получили, что для исходного неравенства $ \text{ЛЧ} \le \text{ПЧ} $ выполняются оценки $ \text{ЛЧ} \ge 1 $ и $ \text{ПЧ} \le 1 $. Такое неравенство может быть верным только в одном случае: когда обе его части равны 1.

$$ \begin{cases} \log_{2}(\cos^2 xy + \cos^{-2} xy) = 1 \\ \frac{1}{y^2 + 2y + 2} = 1 \end{cases} $$

Решим второе уравнение системы:

$$ \frac{1}{y^2 + 2y + 2} = 1 $$

$$ y^2 + 2y + 2 = 1 $$

$$ y^2 + 2y + 1 = 0 $$

$$ (y+1)^2 = 0 $$

$$ y = -1 $$

Теперь решим первое уравнение. Оно обращается в равенство, когда достигается минимальное значение левой части, то есть когда выражение под логарифмом равно 2:

$$ \cos^2 xy + \cos^{-2} xy = 2 $$

Как мы выяснили ранее, это равенство выполняется при $ \cos^2 xy = 1 $, что равносильно $ \cos(xy) = 1 $ или $ \cos(xy) = -1 $. Объединяя эти два случая, получаем:

$$ xy = n\pi, \quad \text{где } n \in \mathbb{Z} $$

Подставим в это уравнение найденное значение $ y = -1 $:

$$ x(-1) = n\pi $$

$$ x = -n\pi, \quad \text{где } n \in \mathbb{Z} $$

Множество значений $ \{-n\pi\} $ для всех целых $ n $ совпадает с множеством $ \{k\pi\} $ для всех целых $ k $. Поэтому решение для $ x $ можно записать как $ x = k\pi $, где $ k $ — любое целое число.

Решениями неравенства являются пары $ (x, y) $, для которых $ y = -1 $ и $ x=k\pi $ для любого $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ (k\pi, -1), k \in \mathbb{Z} $.