Номер 32.35, страница 207, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 32. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 32.35, страница 207.

32.35. а) $xy > -3$;

б) $\frac{-3}{|y|} < x$;

в) $y \ge -\frac{3}{x}$;

г) $\frac{-3}{y} < |x|$.

а) Рассматриваем неравенство $xy > -3$.

Это неравенство определяет область на координатной плоскости. Границей этой области является гипербола $xy = -3$, или $y = -3/x$. Поскольку неравенство строгое ($>$), точки на самой гиперболе не входят в множество решений.

Для нахождения области решения выразим $y$ через $x$. Для этого необходимо разделить неравенство на $x$. Знак неравенства при этом зависит от знака $x$.

1. Если $x > 0$: делим обе части на $x$, знак неравенства не меняется. Получаем $y > -3/x$. Это область над ветвью гиперболы, расположенной в четвертой координатной четверти.
2. Если $x < 0$: делим обе части на $x$, знак неравенства меняется на противоположный. Получаем $y < -3/x$. Это область под ветвью гиперболы, расположенной во второй координатной четверти.
3. Если $x = 0$: неравенство принимает вид $0 \cdot y > -3$, то есть $0 > -3$. Это верное неравенство при любом значении $y$. Следовательно, вся ось $y$ (при $x=0$) является решением.

Объединяя все случаи, получаем искомое множество точек.

Ответ: Множество точек $(x,y)$, удовлетворяющих одному из условий: 1) $x > 0$ и $y > -3/x$; 2) $x < 0$ и $y < -3/x$; 3) $x=0$ и $y$ — любое действительное число.

б) Рассматриваем неравенство $\frac{-3}{|y|} < x$.

Область допустимых значений переменной $y$ определяется условием $|y| \ne 0$, то есть $y \ne 0$.

Поскольку знаменатель $|y|$ всегда положителен при $y \ne 0$, мы можем умножить обе части неравенства на $|y|$, не меняя знака неравенства:

$-3 < x|y|$ или $x|y| > -3$.

Далее рассмотрим три случая в зависимости от знака $x$.

1. Если $x > 0$: произведение $x|y|$ является произведением двух положительных чисел ($x > 0$ и $|y| > 0$), поэтому оно всегда положительно. Любое положительное число больше $-3$. Таким образом, при $x > 0$ неравенство выполняется для любого $y \ne 0$.
2. Если $x = 0$: неравенство принимает вид $0 \cdot |y| > -3$, или $0 > -3$. Это верное неравенство. Таким образом, при $x=0$ неравенство выполняется для любого $y \ne 0$.
3. Если $x < 0$: делим обе части неравенства $x|y| > -3$ на отрицательное число $x$, меняя знак неравенства на противоположный: $|y| < -3/x$. Так как $x < 0$, выражение $-3/x$ положительно. Неравенство $|y| < a$ (где $a>0$) равносильно системе $-a < y < a$. Следовательно, получаем $-( -3/x ) < y < -3/x$, то есть $3/x < y < -3/x$. При этом необходимо помнить, что $y \ne 0$.

Ответ: Множество точек $(x,y)$, удовлетворяющих одному из условий: 1) $x \ge 0$ и $y \ne 0$; 2) $x < 0$ и $3/x < y < -3/x$, при этом $y \ne 0$.

в) Рассматриваем неравенство $y \ge -\frac{3}{x}$.

Данное неравенство уже выражено относительно $y$. Область допустимых значений для $x$ определяется знаменателем дроби, то есть $x \ne 0$.

Решением является множество всех точек координатной плоскости, у которых координата $y$ больше или равна значению выражения $-3/x$.

Границей области является гипербола $y = -3/x$. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), точки на самой гиперболе включаются в решение.

Решение состоит из всех точек $(x,y)$, которые лежат на гиперболе $y = -3/x$ или выше нее, при условии, что $x \ne 0$. Это означает, что все точки на оси $y$ исключены из решения.

Ответ: Множество всех точек $(x,y)$, для которых $x \ne 0$ и выполняется неравенство $y \ge -3/x$.

г) Рассматриваем неравенство $\frac{-3}{y} < |x|$.

Область допустимых значений переменной $y$ определяется условием $y \ne 0$. Рассмотрим два случая в зависимости от знака $y$.

1. Если $y > 0$: левая часть неравенства, $\frac{-3}{y}$, является отрицательным числом. Правая часть, $|x|$, является неотрицательным числом ($|x| \ge 0$). Неравенство "отрицательное число < неотрицательное число" всегда истинно. Следовательно, все точки верхней полуплоскости ($y > 0$) являются решением.
2. Если $y < 0$: левая часть неравенства, $\frac{-3}{y}$, является положительным числом. Правая часть, $|x|$, также должна быть положительной, так как если $x=0$, то $\frac{-3}{y} < 0$, что неверно при $y<0$. Итак, $x \ne 0$. Поскольку обе части неравенства положительны, можно выполнять преобразования. Умножим обе части на $y$ (отрицательное число), изменив знак неравенства на противоположный: $-3 > y|x|$, или $y|x| < -3$. Теперь разделим на $|x|$ (положительное число): $y < \frac{-3}{|x|}$.

Объединяем решения для обоих случаев. График функции $y = -3/|x|$ состоит из двух ветвей: $y = -3/x$ при $x > 0$ и $y = 3/x$ при $x < 0$.

Ответ: Решением является объединение двух множеств точек $(x,y)$: 1) вся верхняя полуплоскость, где $y > 0$; 2) область в нижней полуплоскости, где $y < 0$ и $y < -3/|x|$.