Номер 32.33, страница 207, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 32. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 32.33, страница 207.

32.33. a) $|x + y| + 2x - y \geq 3;$

б) $\frac{|x + y|}{x + y} x + |x + y| + y \leq 4.$

а)

Данное неравенство $|x + y| + 2x - y \ge 3$ содержит модуль. Для его решения необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.

Случай 1: Выражение под модулем неотрицательно, то есть $x + y \ge 0$, что эквивалентно $y \ge -x$. В этом случае $|x + y| = x + y$. Подставив это в исходное неравенство, получаем:

$(x + y) + 2x - y \ge 3$

$3x \ge 3$

$x \ge 1$

Таким образом, в первом случае решением является множество точек, удовлетворяющих системе неравенств: $\begin{cases} y \ge -x \\ x \ge 1 \end{cases}$.

Случай 2: Выражение под модулем отрицательно, то есть $x + y < 0$, что эквивалентно $y < -x$. В этом случае $|x + y| = -(x + y)$. Неравенство принимает вид:

$-(x + y) + 2x - y \ge 3$

$-x - y + 2x - y \ge 3$

$x - 2y \ge 3$

$-2y \ge 3 - x$

$y \le \frac{x - 3}{2}$

Во втором случае решением является множество точек, удовлетворяющих системе неравенств: $\begin{cases} y < -x \\ y \le \frac{1}{2}x - \frac{3}{2} \end{cases}$.

Общее решение исходного неравенства является объединением решений, найденных в этих двух случаях.

Ответ: Множество точек $(x, y)$, удовлетворяющих совокупности систем неравенств: $\left[ \begin{gathered} \begin{cases} y \ge -x \\ x \ge 1 \end{cases} \\ \begin{cases} y < -x \\ y \le \frac{1}{2}x - \frac{3}{2} \end{cases} \end{gathered} \right]$.

б)

В неравенстве $\frac{|x + y|}{x + y}x + |x + y| + y \le 4$ присутствует дробь, знаменатель которой не должен быть равен нулю. Поэтому область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x + y \neq 0$.

Для решения раскроем модули, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x + y > 0$, что эквивалентно $y > -x$. В этом случае $|x + y| = x + y$ и $\frac{|x + y|}{x + y} = 1$. Неравенство преобразуется к виду:

$1 \cdot x + (x + y) + y \le 4$

$2x + 2y \le 4$

$x + y \le 2$

С учётом условия $x + y > 0$, получаем, что решение в этом случае — это множество точек, для которых выполняется двойное неравенство $0 < x + y \le 2$.

Случай 2: $x + y < 0$, что эквивалентно $y < -x$. В этом случае $|x + y| = -(x + y)$ и $\frac{|x + y|}{x + y} = -1$. Неравенство преобразуется к виду:

$(-1) \cdot x + (-(x + y)) + y \le 4$

$-x - x - y + y \le 4$

$-2x \le 4$

$x \ge -2$

В этом случае решением является множество точек, удовлетворяющих системе неравенств: $\begin{cases} x + y < 0 \\ x \ge -2 \end{cases}$.

Общее решение исходного неравенства является объединением решений, найденных в этих двух случаях.

Ответ: Множество точек $(x, y)$, удовлетворяющих совокупности: $\left[ \begin{gathered} 0 < x + y \le 2 \\ \begin{cases} x + y < 0 \\ x \ge -2 \end{cases} \end{gathered} \right]$.