Номер 32.31, страница 207, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 32. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 32.31, страница 207.

Постройте на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству:

32.31. a) $\sqrt{y + 1} < x$;

б) $\sqrt{2xy + y^2} \ge x + y$;

в) $\sqrt{-2x - y - 1} > -x$;

г) $\sqrt{2xy + x^2} \ge x - y$.

а) $\sqrt{y + 1} < x$

1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$y + 1 \geq 0 \implies y \geq -1$.

2. Левая часть неравенства, $\sqrt{y + 1}$, всегда неотрицательна. Следовательно, для выполнения неравенства правая часть должна быть строго положительной:
$x > 0$.

3. Поскольку обе части неравенства неотрицательны (при $x > 0$), мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:
$(\sqrt{y + 1})^2 < x^2$
$y + 1 < x^2$
$y < x^2 - 1$.

4. Таким образом, координаты искомых точек должны удовлетворять системе неравенств:
$\begin{cases} y \geq -1 \\ x > 0 \\ y < x^2 - 1 \end{cases}$

5. Построим на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих этой системе.
- $x > 0$ — это правая полуплоскость (справа от оси $Oy$), сама ось не включается.
- $y \geq -1$ — это полуплоскость, расположенная над прямой $y = -1$, включая саму прямую.
- $y < x^2 - 1$ — это область под параболой $y = x^2 - 1$. Парабола имеет вершину в точке $(0, -1)$ и ветви, направленные вверх. Сама парабола не включается в решение (границу изображаем штриховой линией).

Искомое множество точек — это пересечение этих трех областей. Это область в правой полуплоскости, ограниченная снизу прямой $y = -1$ (эта часть границы, луч $(0, +\infty)$ на прямой $y=-1$, включается в решение), слева — осью $Oy$ (не включая её), а сверху — параболой $y = x^2 - 1$ (не включая её).

Ответ: Множество точек, расположенных в правой полуплоскости ($x>0$) между параболой $y = x^2 - 1$ и прямой $y = -1$. Граница на параболе не включается, граница на оси $Oy$ не включается, а граница на прямой $y=-1$ (для $x>0$) включается.

б) $\sqrt{2xy + y^2} \geq x + y$

1. ОДЗ: $2xy + y^2 \geq 0 \implies y(2x + y) \geq 0$. Это выполняется в двух случаях:
а) $y \geq 0$ и $2x + y \geq 0$ (т.е. $y \geq -2x$).
б) $y \leq 0$ и $2x + y \leq 0$ (т.е. $y \leq -2x$).

2. Рассмотрим два случая в зависимости от знака правой части неравенства.
Случай 1: $x + y < 0$ (т.е. $y < -x$).
Левая часть неравенства неотрицательна, а правая отрицательна. Неравенство $\sqrt{A} \geq B$ всегда верно, если $A \geq 0$ и $B < 0$. Таким образом, в этом случае решением являются все точки из ОДЗ, для которых $y < -x$.
- Для ОДЗ а) ($y \geq 0, y \geq -2x$) и $y < -x$: при $x<0$ имеем $-2x > -x > 0$. Система $y \geq -2x$ и $y < -x$ не имеет решений. При $x \geq 0$ из $y \geq 0$ и $y < -x$ следует $0 < -x \implies x < 0$, что является противоречием. Решений в этом подслучае нет. - Для ОДЗ б) ($y \leq 0, y \leq -2x$) и $y < -x$: - При $x > 0$ имеем $y \leq -2x$. Так как $-2x < -x$, условие $y \leq -2x$ более сильное, чем $y < -x$. Решение: $x > 0, y \leq -2x$. - При $x \leq 0$ имеем $y \leq 0$. Условие $y < -x$ выполнено для всех точек третьего квадранта ($x<0, y<0$) и для точек на отрицательной полуоси $Ox$ ($y=0, x<0$). Условие $y \leq -2x$ также выполняется для всего третьего квадранта. Решение: $x \leq 0, y \leq 0$.
Случай 2: $x + y \geq 0$ (т.е. $y \geq -x$).
Обе части неравенства неотрицательны, можем возвести в квадрат:
$2xy + y^2 \geq (x + y)^2$
$2xy + y^2 \geq x^2 + 2xy + y^2$
$0 \geq x^2$ Это неравенство выполняется только при $x^2 = 0$, то есть $x = 0$. С учетом условия $y \geq -x$ получаем $y \geq 0$. Проверим ОДЗ для $x=0$: $y(0+y) \geq 0 \implies y^2 \geq 0$, что верно для любого $y$. Таким образом, решением в этом случае является луч $x=0, y \geq 0$.

3. Проверим отдельно случай $x=0$. Неравенство принимает вид $\sqrt{y^2} \geq y \implies |y| \geq y$. Это верно для любого действительного $y$. ОДЗ ($y^2 \geq 0$) также выполняется для любого $y$. Значит, вся ось $Oy$ ($x=0$) является решением.

4. Объединим все найденные решения:
- Вся ось $Oy$ ($x=0$). - Область $x > 0, y \leq -2x$ (часть четвертого квадранта под прямой $y=-2x$). - Область $x \leq 0, y \leq 0$ (третий квадрант, включая его границы — отрицательные полуоси).

Ответ: Искомое множество точек — это объединение замкнутого третьего квадранта ($x \leq 0, y \leq 0$), всей оси ординат ($x=0$) и части четвертого квадранта, расположенной на и под прямой $y = -2x$ ($x > 0, y \leq -2x$).

в) $\sqrt{-2x - y - 1} > -x$

1. ОДЗ: $-2x - y - 1 \geq 0 \implies y \leq -2x - 1$. Это полуплоскость, расположенная на и под прямой $y = -2x - 1$.

2. Рассмотрим два случая в зависимости от знака правой части.
Случай 1: $-x < 0$ (т.е. $x > 0$).
Левая часть неотрицательна, правая — отрицательна. Неравенство верно для всех точек из ОДЗ. Таким образом, решением является пересечение $x > 0$ и $y \leq -2x - 1$.
Случай 2: $-x \geq 0$ (т.е. $x \leq 0$).
Обе части неотрицательны. Возведем в квадрат:
$-2x - y - 1 > (-x)^2$
$-2x - y - 1 > x^2$
$y < -x^2 - 2x - 1$
$y < -(x+1)^2$
Это условие должно выполняться вместе с ОДЗ ($y \leq -2x - 1$) и условием случая ($x \leq 0$). Сравним $-(x+1)^2$ и $-2x-1$: $-(x^2+2x+1) - (-2x-1) = -x^2$. При $x \neq 0$ имеем $-x^2 < 0$, значит $-(x+1)^2 < -2x - 1$. Следовательно, условие $y < -(x+1)^2$ является более сильным, чем ОДЗ. Решение для $x < 0$: $y < -(x+1)^2$.
При $x=0$ правая часть равна 0. Неравенство: $\sqrt{-y-1} > 0$. Это равносильно $-y-1>0$, то есть $y < -1$.

3. Объединим решения:
- При $x < 0$: область под параболой $y = -(x+1)^2$ (парабола не включается). - При $x = 0$: луч $y < -1$ (точка $(0, -1)$ не включается). - При $x > 0$: область на и под прямой $y = -2x - 1$.

Заметим, что прямая $y = -2x - 1$ является касательной к параболе $y = -(x+1)^2$ в точке $(0, -1)$. Проверим точку $(0, -1)$: $\sqrt{0} > 0$ — неверно. Точка $(0, -1)$ не является решением.

Ответ: Множество точек, состоящее из двух частей:1) для $x < 0$ — область, расположенная строго под параболой $y = -(x+1)^2$;2) для $x \geq 0$ — область, расположенная под прямой $y = -2x - 1$, включая саму прямую, за исключением точки касания $(0, -1)$.

г) $\sqrt{2xy + x^2} \geq x - y$

1. ОДЗ: $2xy + x^2 \geq 0 \implies x(2y + x) \geq 0$. Это выполняется в случаях:
а) $x \geq 0$ и $2y + x \geq 0$ (т.е. $y \geq -x/2$).
б) $x \leq 0$ и $2y + x \leq 0$ (т.е. $y \leq -x/2$).

2. Рассмотрим два случая.
Случай 1: $x - y < 0$ (т.е. $y > x$).
Неравенство верно для всех точек из ОДЗ.
- Пересечение с ОДЗ а) ($x \geq 0, y \geq -x/2$): условие $y > x$ сильнее, чем $y \geq -x/2$ при $x \geq 0$. Решение: $x \geq 0, y > x$. - Пересечение с ОДЗ б) ($x \leq 0, y \leq -x/2$): получаем систему $x < y \leq -x/2$ (при $x < 0$).
Случай 2: $x - y \geq 0$ (т.е. $y \leq x$).
Обе части неотрицательны, возводим в квадрат:
$2xy + x^2 \geq (x - y)^2$
$2xy + x^2 \geq x^2 - 2xy + y^2$
$4xy \geq y^2 \implies y(y - 4x) \leq 0$. Это верно, если:
- $y \geq 0$ и $y \leq 4x$. Решение: $0 \leq y \leq 4x$. - $y \leq 0$ и $y \geq 4x$. Решение: $4x \leq y \leq 0$. Объединим это с условиями $y \leq x$ и ОДЗ:
- Для $x \geq 0$ (ОДЗ а)): система $0 \leq y \leq 4x$ и $y \leq x$. Так как $x \leq 4x$, то решением будет $0 \leq y \leq x$. - Для $x \leq 0$ (ОДЗ б)): система $4x \leq y \leq 0$ и $y \leq x$. Так как $4x \leq x$, то решением будет $4x \leq y \leq 0$.

3. Соберем все решения:
- Для $x \geq 0$: объединяем $y > x$ и $0 \leq y \leq x$, получаем $y \geq 0$. Это замкнутый первый квадрант. - Для $x < 0$: объединяем $x < y \leq -x/2$ и $4x \leq y \leq 0$. Так как при $x<0$ имеем $4x < x < 0 < -x/2$, то общее решение: $4x \leq y \leq -x/2$.

Ответ: Искомое множество — это объединение замкнутого первого координатного угла ($x \geq 0, y \geq 0$) и области в левой полуплоскости ($x < 0$), заключенной между лучами $y = 4x$ и $y = -x/2$, включая сами лучи.