Номер 32.24, страница 206, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 32. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 32.24, страница 206.

Постройте на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству:

32.24. a) $x \le 5$;

б) $x > -4$;

в) $y \ge -3$;

г) $y < 2$.

а) $x \le 5$

Данное неравенство описывает множество всех точек на координатной плоскости, абсцисса (координата $x$) которых меньше или равна 5. Координата $y$ при этом может быть любой. Сначала построим граничную прямую, которая задается уравнением $x = 5$. Это вертикальная прямая, проходящая через точку $(5, 0)$ и параллельная оси ординат (оси OY). Поскольку неравенство нестрогое ($ \le $), сама прямая $x = 5$ является частью искомого множества, и мы изображаем её сплошной линией. Неравенству $x \le 5$ удовлетворяют все точки, лежащие на этой прямой и слева от неё. Таким образом, искомое множество точек — это полуплоскость, расположенная слева от прямой $x = 5$, включая саму прямую.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих неравенству $x \le 5$, представляет собой замкнутую полуплоскость, расположенную слева от вертикальной прямой $x = 5$ и включающую эту прямую.

б) $x > -4$

Это неравенство описывает множество всех точек на координатной плоскости, абсцисса (координата $x$) которых строго больше -4. Координата $y$ может быть любой. Граничной линией является прямая $x = -4$. Это вертикальная прямая, проходящая через точку $(-4, 0)$ и параллельная оси OY. Так как неравенство строгое ($ > $), точки, лежащие на самой прямой $x = -4$, не входят в искомое множество. Поэтому мы изображаем эту прямую пунктирной (или штриховой) линией. Неравенству $x > -4$ удовлетворяют все точки, расположенные справа от прямой $x = -4$. Следовательно, искомое множество — это открытая полуплоскость справа от прямой $x = -4$.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих неравенству $x > -4$, представляет собой открытую полуплоскость, расположенную справа от вертикальной прямой $x = -4$. Сама прямая в множество не входит.

в) $y \ge -3$

Данное неравенство описывает множество всех точек, ордината (координата $y$) которых больше или равна -3. Координата $x$ при этом может быть любой. Граничная линия задается уравнением $y = -3$. Это горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0, -3)$ и параллельная оси абсцисс (оси OX). Поскольку неравенство нестрогое ($ \ge $), сама прямая $y = -3$ является частью решения, и мы изображаем её сплошной линией. Неравенству $y \ge -3$ удовлетворяют все точки, лежащие на этой прямой и выше неё. Таким образом, искомое множество точек — это полуплоскость, расположенная выше прямой $y = -3$, включая саму прямую.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих неравенству $y \ge -3$, представляет собой замкнутую полуплоскость, расположенную выше горизонтальной прямой $y = -3$ и включающую эту прямую.

г) $y < 2$

Это неравенство описывает множество всех точек, ордината (координата $y$) которых строго меньше 2. Координата $x$ может быть любой. Граничной линией является прямая $y = 2$. Это горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0, 2)$ и параллельная оси OX. Так как неравенство строгое ($ < $), точки, лежащие на самой прямой $y = 2$, не входят в искомое множество. Поэтому мы изображаем эту прямую пунктирной линией. Неравенству $y < 2$ удовлетворяют все точки, расположенные ниже прямой $y = 2$. Следовательно, искомое множество — это открытая полуплоскость ниже прямой $y = 2$.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих неравенству $y < 2$, представляет собой открытую полуплоскость, расположенную ниже горизонтальной прямой $y = 2$. Сама прямая в множество не входит.