Номер 32.23, страница 205, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 32. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 32.23, страница 205.

32.23. a) $x^2 - 5xy + 6y^2 = 2$;

б) $x^2 + xy - 6y^2 = 5 - 5y$;

В) $x^2 - xy + 12y^2 = 12$;

Г) $x^2 - 2xy + 8y^2 = 6 - 2x + 2y$.

а) $x^2 - 5xy + 6y^2 = 2$

Данное уравнение можно рассматривать как квадратное относительно переменной $x$. Разложим левую часть уравнения на множители. Корни квадратного трехчлена $t^2 - 5yt + 6y^2 = 0$ относительно $t$ равны $t_1 = 2y$ и $t_2 = 3y$. Тогда левую часть можно записать в виде произведения:

$(x - 2y)(x - 3y) = 2$

Поскольку $x$ и $y$ должны быть целыми числами, выражения в скобках $(x-2y)$ и $(x-3y)$ также являются целыми числами. Их произведение равно 2. Следовательно, они могут быть только парами целых делителей числа 2. Рассмотрим все возможные случаи:

1) $\begin{cases} x - 2y = 1 \\ x - 3y = 2 \end{cases}$
Вычитая второе уравнение из первого, получаем: $(x-2y) - (x-3y) = 1-2$, откуда $y = -1$. Подставив $y = -1$ в первое уравнение, находим $x - 2(-1) = 1 \implies x+2=1 \implies x = -1$. Получаем решение $(-1, -1)$.

2) $\begin{cases} x - 2y = 2 \\ x - 3y = 1 \end{cases}$
Вычитая второе уравнение из первого, получаем: $(x-2y) - (x-3y) = 2-1$, откуда $y = 1$. Подставив $y = 1$ в первое уравнение, находим $x - 2(1) = 2 \implies x-2=2 \implies x = 4$. Получаем решение $(4, 1)$.

3) $\begin{cases} x - 2y = -1 \\ x - 3y = -2 \end{cases}$
Вычитая второе уравнение из первого, получаем: $(x-2y) - (x-3y) = -1-(-2)$, откуда $y = 1$. Подставив $y = 1$ в первое уравнение, находим $x - 2(1) = -1 \implies x-2=-1 \implies x = 1$. Получаем решение $(1, 1)$.

4) $\begin{cases} x - 2y = -2 \\ x - 3y = -1 \end{cases}$
Вычитая второе уравнение из первого, получаем: $(x-2y) - (x-3y) = -2-(-1)$, откуда $y = -1$. Подставив $y = -1$ в первое уравнение, находим $x - 2(-1) = -2 \implies x+2=-2 \implies x = -4$. Получаем решение $(-4, -1)$.

Ответ: $(-1, -1), (4, 1), (1, 1), (-4, -1)$.

б) $x^2 + xy - 6y^2 = 5 - 5y$

Перепишем уравнение, сгруппировав члены относительно $x$, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + y \cdot x + (5y - 6y^2 - 5) = 0$

Для того чтобы уравнение имело целые решения для $x$, его дискриминант $D_x$ должен быть полным квадратом целого числа. Найдем дискриминант:

$D_x = y^2 - 4 \cdot 1 \cdot (5y - 6y^2 - 5) = y^2 - 20y + 24y^2 + 20 = 25y^2 - 20y + 20$

Пусть $D_x = k^2$ для некоторого целого числа $k \ge 0$.

$25y^2 - 20y + 20 = k^2$

Преобразуем левую часть, выделив полный квадрат:

$(25y^2 - 20y + 4) + 16 = k^2$

$(5y - 2)^2 + 16 = k^2$

$k^2 - (5y - 2)^2 = 16$

Разложим левую часть по формуле разности квадратов:

$(k - (5y - 2))(k + (5y - 2)) = 16$

$(k - 5y + 2)(k + 5y - 2) = 16$

Оба множителя в левой части должны быть целыми числами. Обозначим их $A = k - 5y + 2$ и $B = k + 5y - 2$. Их произведение $AB = 16$. Заметим, что их разность $B - A = (k + 5y - 2) - (k - 5y + 2) = 10y - 4$ всегда является четным числом. Следовательно, множители $A$ и $B$ должны иметь одинаковую четность. Так как их произведение 16 (четное), то оба множителя должны быть четными.

Рассмотрим пары четных делителей числа 16: (2, 8), (4, 4), (-2, -8), а также обратные пары.

1) $\begin{cases} k - 5y + 2 = 2 \\ k + 5y - 2 = 8 \end{cases}$
Сложив уравнения, получим $2k = 10 \implies k = 5$. Вычитая из второго первое, получим $10y - 4 = 6 \implies 10y=10 \implies y=1$. Это возможное целое значение для $y$.

2) $\begin{cases} k - 5y + 2 = 4 \\ k + 5y - 2 = 4 \end{cases}$
Вычитая уравнения, получим $10y - 4 = 0 \implies 10y = 4 \implies y = 0.4$, что не является целым числом.

Другие пары делителей, такие как (8, 2) или отрицательные пары, приведут либо к нецелым значениям $y$, либо к тому же значению $y=1$. Например, для пары (-8, -2): $10y-4 = -2 - (-8) = 6 \implies 10y=10 \implies y=1$.

Единственное возможное целое значение для $y$ - это 1. Подставим $y=1$ в исходное уравнение:

$x^2 + x(1) - 6(1)^2 = 5 - 5(1)$

$x^2 + x - 6 = 0$

$(x+3)(x-2) = 0$

Отсюда получаем $x = -3$ или $x = 2$.

Таким образом, мы нашли две пары решений.

Ответ: $(2, 1), (-3, 1)$.

в) $x^2 - xy + 12y^2 = 12$

Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно $x$:

$x^2 - y \cdot x + (12y^2 - 12) = 0$

Чтобы $x$ был действительным числом, дискриминант $D_x$ должен быть неотрицательным.

$D_x = (-y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (12y^2 - 12) = y^2 - 48y^2 + 48 = 48 - 47y^2$

$D_x \ge 0 \implies 48 - 47y^2 \ge 0 \implies 47y^2 \le 48 \implies y^2 \le \frac{48}{47}$

Поскольку $y$ должен быть целым числом, $y^2$ может принимать только значения 0 и 1. Следовательно, возможные значения для $y$: $0, 1, -1$.

1) Если $y = 0$, уравнение принимает вид $x^2 = 12$. Здесь нет целых решений для $x$.

2) Если $y = 1$, уравнение принимает вид $x^2 - x + 12 = 12$, что упрощается до $x^2 - x = 0$, или $x(x-1)=0$. Отсюда $x=0$ или $x=1$. Получаем решения $(0, 1)$ и $(1, 1)$.

3) Если $y = -1$, уравнение принимает вид $x^2 - x(-1) + 12(-1)^2 = 12$, что упрощается до $x^2 + x = 0$, или $x(x+1)=0$. Отсюда $x=0$ или $x=-1$. Получаем решения $(0, -1)$ и $(-1, -1)$.

Ответ: $(0, 1), (1, 1), (0, -1), (-1, -1)$.

г) $x^2 - 2xy + 8y^2 = 6 - 2x + 2y$

Перенесем все члены в левую часть и сгруппируем их как квадратное уравнение относительно $x$:

$x^2 - 2xy + 2x + 8y^2 - 2y - 6 = 0$

$x^2 + (2 - 2y)x + (8y^2 - 2y - 6) = 0$

Для наличия целых решений по $x$, дискриминант $D_x$ должен быть полным квадратом.

$D_x = (2 - 2y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (8y^2 - 2y - 6) = 4(1 - y)^2 - 32y^2 + 8y + 24$

$D_x = 4(1 - 2y + y^2) - 32y^2 + 8y + 24 = 4 - 8y + 4y^2 - 32y^2 + 8y + 24 = 28 - 28y^2$

$D_x = 28(1 - y^2)$

Пусть $D_x = k^2$ для некоторого целого $k \ge 0$. Тогда $k^2 = 28(1 - y^2)$.

Так как $k^2 \ge 0$ и $28 > 0$, должно выполняться условие $1 - y^2 \ge 0$, то есть $y^2 \le 1$.

Поскольку $y$ - целое число, возможные значения для $y$: $0, 1, -1$.

1) Если $y=0$, $D_x = 28(1-0) = 28$. Это число не является полным квадратом, поэтому целых решений для $x$ нет.

2) Если $y=1$, $D_x = 28(1-1) = 0$. Это полный квадрат ($0^2$). Тогда решение для $x$ единственное:

$x = \frac{-(2-2y)}{2} = \frac{-(2-2(1))}{2} = \frac{0}{2} = 0$. Получаем решение $(0, 1)$.

3) Если $y=-1$, $D_x = 28(1-(-1)^2) = 28(1-1) = 0$. Это тоже полный квадрат. Решение для $x$:

$x = \frac{-(2-2y)}{2} = \frac{-(2-2(-1))}{2} = \frac{-(2+2)}{2} = -2$. Получаем решение $(-2, -1)$.

Проверим найденные решения в исходном уравнении.

Для $(0, 1)$: $0^2 - 2(0)(1) + 8(1)^2 = 8$ и $6 - 2(0) + 2(1) = 8$. Верно.

Для $(-2, -1)$: $(-2)^2 - 2(-2)(-1) + 8(-1)^2 = 4 - 4 + 8 = 8$ и $6 - 2(-2) + 2(-1) = 6 + 4 - 2 = 8$. Верно.

Ответ: $(0, 1), (-2, -1)$.