Номер 32.19, страница 205, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 32. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 32.19, страница 205.

32.19. a) $|y + 2| = \sqrt{4 - x^2}$;

б) $|y| = -\sqrt{4 - x^2} + 2;$

в) $|y| + 2 = \sqrt{4 - x^2}$;

г) $|y + 2| = -\sqrt{4 - (x - 1)^2}$.

а) $|y + 2| = \sqrt{4 - x^2}$

Для того чтобы уравнение имело смысл, выражение под корнем должно быть неотрицательным: $4 - x^2 \ge 0$, что эквивалентно $x^2 \le 4$, или $-2 \le x \le 2$.

Левая часть уравнения, $|y + 2|$, всегда неотрицательна. Правая часть, $\sqrt{4 - x^2}$, также всегда неотрицательна (по определению арифметического квадратного корня). Так как обе части уравнения неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, не опасаясь появления посторонних корней: $(|y + 2|)^2 = (\sqrt{4 - x^2})^2$ $(y + 2)^2 = 4 - x^2$

Перенесем $x^2$ в левую часть: $x^2 + (y + 2)^2 = 4$ $x^2 + (y + 2)^2 = 2^2$

Это каноническое уравнение окружности с центром в точке $(0, -2)$ и радиусом $R = 2$. Условие $-2 \le x \le 2$ выполняется для всех точек этой окружности.

Ответ: Графиком уравнения является окружность с центром в точке $(0, -2)$ и радиусом 2.

б) $|y| = -\sqrt{4 - x^2} + 2$

Определим область допустимых значений для $x$. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $4 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 4 \implies -2 \le x \le 2$.

Левая часть уравнения, $|y|$, неотрицательна. Следовательно, и правая часть должна быть неотрицательной: $-\sqrt{4 - x^2} + 2 \ge 0$ $2 \ge \sqrt{4 - x^2}$ Возводим в квадрат (обе части неотрицательны): $4 \ge 4 - x^2$ $0 \ge -x^2$ $x^2 \ge 0$. Это неравенство верно для любого действительного $x$. Таким образом, единственным ограничением остается $-2 \le x \le 2$.

Уравнение вида $|y| = f(x)$ равносильно совокупности двух уравнений: $y = f(x)$ и $y = -f(x)$. Рассмотрим оба случая:

1) $y = 2 - \sqrt{4 - x^2}$. Преобразуем уравнение: $y - 2 = -\sqrt{4 - x^2}$. Отсюда следует, что $y - 2 \le 0$, то есть $y \le 2$. Возведем в квадрат: $(y - 2)^2 = 4 - x^2$, что приводит к $x^2 + (y - 2)^2 = 4$. Это уравнение окружности с центром в $(0, 2)$ и радиусом 2. Условие $y \le 2$ означает, что мы берем только нижнюю полукружность.

2) $y = - (2 - \sqrt{4 - x^2}) = \sqrt{4 - x^2} - 2$. Преобразуем: $y + 2 = \sqrt{4 - x^2}$. Отсюда следует, что $y + 2 \ge 0$, то есть $y \ge -2$. Возведем в квадрат: $(y + 2)^2 = 4 - x^2$, что приводит к $x^2 + (y + 2)^2 = 4$. Это уравнение окружности с центром в $(0, -2)$ и радиусом 2. Условие $y \ge -2$ означает, что мы берем только верхнюю полукружность.

Ответ: График уравнения представляет собой объединение двух полуокружностей: нижней полуокружности с центром в $(0, 2)$ и радиусом 2, и верхней полуокружности с центром в $(0, -2)$ и радиусом 2. Обе полуокружности проходят через точку $(0,0)$.

в) $|y| + 2 = \sqrt{4 - x^2}$

Перепишем уравнение в виде: $|y| = \sqrt{4 - x^2} - 2$.

Область определения $x$ задается условием $4 - x^2 \ge 0$, то есть $-2 \le x \le 2$.

Так как левая часть $|y|$ всегда неотрицательна, правая часть также должна быть неотрицательной: $\sqrt{4 - x^2} - 2 \ge 0$ $\sqrt{4 - x^2} \ge 2$ Возводя обе части в квадрат, получаем: $4 - x^2 \ge 4$ $-x^2 \ge 0$ $x^2 \le 0$

Единственное действительное число, удовлетворяющее этому неравенству, — это $x = 0$. Подставим $x = 0$ в исходное уравнение, чтобы найти $y$: $|y| = \sqrt{4 - 0^2} - 2$ $|y| = 2 - 2$ $|y| = 0$ $y = 0$

Следовательно, только одна точка $(0, 0)$ удовлетворяет данному уравнению.

Ответ: Графиком уравнения является единственная точка $(0, 0)$.

г) $|y + 2| = -\sqrt{4 - (x - 1)^2}$

Рассмотрим левую и правую части уравнения. Левая часть, $|y + 2|$, как модуль, всегда неотрицательна: $|y + 2| \ge 0$. Правая часть, $-\sqrt{4 - (x - 1)^2}$, представляет собой арифметический квадратный корень со знаком минус, поэтому она всегда неположительна: $-\sqrt{4 - (x - 1)^2} \le 0$.

Равенство между неотрицательной и неположительной величиной возможно только в том случае, если обе величины равны нулю. Таким образом, уравнение равносильно системе двух уравнений: $$ \begin{cases} |y + 2| = 0 \\ -\sqrt{4 - (x - 1)^2} = 0 \end{cases} $$

Решим первое уравнение: $|y + 2| = 0 \implies y + 2 = 0 \implies y = -2$.

Решим второе уравнение: $-\sqrt{4 - (x - 1)^2} = 0$ $\sqrt{4 - (x - 1)^2} = 0$ $4 - (x - 1)^2 = 0$ $(x - 1)^2 = 4$ $x - 1 = \pm 2$

Отсюда получаем два значения для $x$: $x_1 = 1 + 2 = 3$ $x_2 = 1 - 2 = -1$

Таким образом, существуют две точки, удовлетворяющие исходному уравнению: одна с $x=3$ и $y=-2$, а другая с $x=-1$ и $y=-2$.

Ответ: График уравнения состоит из двух точек: $(-1, -2)$ и $(3, -2)$.