Номер 32.13, страница 204, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 32. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 32.13, страница 204.

32.13. График уравнения $f(x; y) = 0$, изображённый на рис. 11, имеет вид многоугольника, вершины которого — точки с целочисленными координатами. Постройте график уравнения:

а) $f(x + 1; y - 1) = 0;$

б) $f\left(|x|; -\frac{y}{2}\right) = 0;$

в) $f(2 - x; 1 + y) = 0;$

г) $f(|y|; -2x) = 0.$

Рис. 11

Исходный график представляет собой многоугольник, являющийся решением уравнения $f(x, y) = 0$. Вершины этого многоугольника имеют следующие целочисленные координаты (определены по Рис. 11): $V_1(-2, 1)$, $V_2(1, 3)$, $V_3(2, 1)$, $V_4(5, 2)$, $V_5(2, -2)$, $V_6(1, -2)$. Для построения графиков новых уравнений мы определим, как преобразуются координаты каждой вершины исходного многоугольника.

a) $f(x + 1; y - 1) = 0$

Пусть $(x', y')$ — координаты точки на новом графике. Тогда они удовлетворяют уравнению $f(x' + 1, y' - 1) = 0$. Это означает, что точка с координатами $(x, y) = (x' + 1, y' - 1)$ лежит на исходном графике. Выразим новые координаты $(x', y')$ через старые $(x, y)$:$x' + 1 = x \Rightarrow x' = x - 1$$y' - 1 = y \Rightarrow y' = y + 1$Это преобразование является параллельным переносом. Каждая точка исходного графика смещается на 1 единицу влево и на 1 единицу вверх. Применим это преобразование к вершинам исходного многоугольника:
$V_1(-2, 1) \rightarrow V_1'(-2-1, 1+1) = (-3, 2)$
$V_2(1, 3) \rightarrow V_2'(1-1, 3+1) = (0, 4)$
$V_3(2, 1) \rightarrow V_3'(2-1, 1+1) = (1, 2)$
$V_4(5, 2) \rightarrow V_4'(5-1, 2+1) = (4, 3)$
$V_5(2, -2) \rightarrow V_5'(2-1, -2+1) = (1, -1)$
$V_6(1, -2) \rightarrow V_6'(1-1, -2+1) = (0, -1)$

Ответ: Новый график — это многоугольник, полученный сдвигом исходного на 1 влево и 1 вверх, с вершинами в точках $(-3, 2)$, $(0, 4)$, $(1, 2)$, $(4, 3)$, $(1, -1)$, $(0, -1)$.

б) $f\left(|x|; -\frac{y}{2}\right) = 0$

Пусть $(x', y')$ — точка нового графика. Тогда $f(|x'|, -y'/2) = 0$. Сопоставляя с $f(x, y) = 0$, получаем:$x = |x'|$$y = -y'/2 \Rightarrow y' = -2y$Так как $x = |x'|$, то $x \ge 0$. Это означает, что для построения нового графика используется только та часть исходного, которая находится в правой полуплоскости (где $x \ge 0$). Затем эта часть преобразуется и отражается симметрично относительно оси $OY$.Часть исходного графика при $x \ge 0$ — это многоугольник с вершинами $(0, 7/3)$, $(1, 3)$, $(2, 1)$, $(5, 2)$, $(2, -2)$, $(1, -2)$, $(0, -1)$. Точки $(0, 7/3)$ и $(0, -1)$ — это точки пересечения исходного графика с осью $OY$.Преобразование для этой части: $(x, y) \rightarrow (x, -2y)$. Это растяжение в 2 раза вдоль оси $OY$ с последующим отражением относительно оси $OX$.Применим это преобразование к вершинам правой части исходного графика:
$(0, 7/3) \rightarrow (0, -14/3)$
$(1, 3) \rightarrow (1, -6)$
$(2, 1) \rightarrow (2, -2)$
$(5, 2) \rightarrow (5, -4)$
$(2, -2) \rightarrow (2, 4)$
$(1, -2) \rightarrow (1, 4)$
$(0, -1) \rightarrow (0, 2)$Полученный многоугольник для $x' \ge 0$ и его симметричное отражение относительно оси $OY$ образуют итоговый график.

Ответ: Новый график — это многоугольник, симметричный относительно оси $OY$, с вершинами в точках $(0, 2)$, $(1, 4)$, $(2, 4)$, $(5, -4)$, $(2, -2)$, $(1, -6)$, $(0, -14/3)$, $(-1, -6)$, $(-2, -2)$, $(-5, -4)$, $(-2, 4)$, $(-1, 4)$.

в) $f(2 - x; 1 + y) = 0$

Пусть $(x', y')$ — точка нового графика. Тогда $f(2 - x', 1 + y') = 0$. Отсюда:$x = 2 - x' \Rightarrow x' = 2 - x$$y = 1 + y' \Rightarrow y' = y - 1$Это преобразование можно рассматривать как композицию: 1) отражение относительно оси $OY$ ($x \rightarrow -x$), 2) сдвиг на 2 вправо ($-x \rightarrow -x+2$), 3) сдвиг на 1 вниз ($y \rightarrow y-1$).Применим преобразование $x' = 2 - x, y' = y - 1$ к вершинам:
$V_1(-2, 1) \rightarrow V_1'(2 - (-2), 1 - 1) = (4, 0)$
$V_2(1, 3) \rightarrow V_2'(2 - 1, 3 - 1) = (1, 2)$
$V_3(2, 1) \rightarrow V_3'(2 - 2, 1 - 1) = (0, 0)$
$V_4(5, 2) \rightarrow V_4'(2 - 5, 2 - 1) = (-3, 1)$
$V_5(2, -2) \rightarrow V_5'(2 - 2, -2 - 1) = (0, -3)$
$V_6(1, -2) \rightarrow V_6'(2 - 1, -2 - 1) = (1, -3)$

Ответ: Новый график — это многоугольник с вершинами в точках $(4, 0)$, $(1, 2)$, $(0, 0)$, $(-3, 1)$, $(0, -3)$, $(1, -3)$.

г) $f(|y|; -2x) = 0$

Пусть $(x', y')$ — точка нового графика. Тогда $f(|y'|, -2x') = 0$. Отсюда:$x = |y'| \Rightarrow y' = \pm x$$y = -2x' \Rightarrow x' = -y/2$Так как $x = |y'|$, то $x \ge 0$. Снова используется только часть исходного графика при $x \ge 0$ с вершинами $(0, 7/3)$, $(1, 3)$, $(2, 1)$, $(5, 2)$, $(2, -2)$, $(1, -2)$, $(0, -1)$.Преобразование $(x, y) \rightarrow (-y/2, \pm x)$ означает, что для каждой точки $(x, y)$ из правой части исходного графика на новом графике будут две точки $(-y/2, x)$ и $(-y/2, -x)$. Итоговый график будет симметричен относительно оси $OX$.Рассмотрим преобразование $(x, y) \rightarrow (-y/2, x)$, которое дает верхнюю половину нового графика. Это поворот на $90^\circ$ против часовой стрелки с последующим сжатием к оси $OY$ в 2 раза.Применим это преобразование к вершинам правой части исходного графика:
$(0, 7/3) \rightarrow (- (7/3)/2, 0) = (-7/6, 0)$
$(1, 3) \rightarrow (-3/2, 1) = (-1.5, 1)$
$(2, 1) \rightarrow (-1/2, 2) = (-0.5, 2)$
$(5, 2) \rightarrow (-2/2, 5) = (-1, 5)$
$(2, -2) \rightarrow (-(-2)/2, 2) = (1, 2)$
$(1, -2) \rightarrow (-(-2)/2, 1) = (1, 1)$
$(0, -1) \rightarrow (-(-1)/2, 0) = (1/2, 0)$Верхняя половина нового графика — многоугольник с этими вершинами. Нижняя половина — его отражение относительно оси $OX$.

Ответ: Новый график — это многоугольник, симметричный относительно оси $OX$, с вершинами в точках $(-1, 5)$, $(-0.5, 2)$, $(1, 2)$, $(1, 1)$, $(0.5, 0)$, $(1, -1)$, $(1, -2)$, $(-0.5, -2)$, $(-1, -5)$, $(-1.5, -1)$, $(-7/6, 0)$, $(-1.5, 1)$.