Номер 32.8, страница 203, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 32. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 32.8, страница 203.

32.8. a) $\frac{x}{y} = 1;$

Б) $\frac{2x + 3y - 5}{x + y} = 0;$

В) $\frac{x - y}{x + y - 2} = 0;$

Г) $\frac{2x^2 - 4x - 2xy + 3y - 5}{x - y} = 2x.$

а)

Дано уравнение $\frac{x}{y} = 1$.

Область допустимых значений (ОДЗ) этого уравнения: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $y \neq 0$.

Умножим обе части уравнения на $y$, так как мы установили, что $y \neq 0$:

$x = 1 \cdot y$

$x = y$

Таким образом, решением является любая пара чисел $(x, y)$, такая что $x = y$ и $y \neq 0$.

Ответ: $x = y$, при $y \neq 0$.

б)

Дано уравнение $\frac{2x + 3y - 5}{x + y} = 0$.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это приводит к системе условий:

$\begin{cases} 2x + 3y - 5 = 0 \\ x + y \neq 0 \end{cases}$

Первое уравнение $2x + 3y - 5 = 0$ задает прямую. Второе условие $x + y \neq 0$ означает, что нужно исключить из решения точки, для которых $y = -x$.

Найдем точку пересечения прямых $2x + 3y - 5 = 0$ и $x + y = 0$. Для этого подставим $y = -x$ из второго уравнения в первое:

$2x + 3(-x) - 5 = 0$

$2x - 3x - 5 = 0$

$-x = 5$

$x = -5$

Тогда $y = -x = -(-5) = 5$.

Следовательно, точка $(-5, 5)$ должна быть исключена из множества решений, так как в ней знаменатель обращается в ноль. Решением являются все остальные точки прямой $2x + 3y - 5 = 0$.

Ответ: $2x + 3y - 5 = 0$, при условии что $x + y \neq 0$.

в)

Дано уравнение $\frac{x - y}{x + y - 2} = 0$.

Это уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x - y = 0 \\ x + y - 2 \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения следует, что $x = y$.

Подставим это равенство во второе условие, чтобы найти точки, которые необходимо исключить:

$x + (x) - 2 \neq 0$

$2x - 2 \neq 0$

$2x \neq 2$

$x \neq 1$

Так как $x = y$, то и $y \neq 1$. Таким образом, точка $(1, 1)$ не является решением.

Решением является множество точек прямой $x = y$ за исключением точки $(1, 1)$.

Ответ: $x = y$, при $x \neq 1$.

г)

Дано уравнение $\frac{2x^2 - 4x - 2xy + 3y - 5}{x - y} = 2x$.

ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $x - y \neq 0$ или $x \neq y$.

При условии $x \neq y$, умножим обе части уравнения на $(x - y)$:

$2x^2 - 4x - 2xy + 3y - 5 = 2x(x - y)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$2x^2 - 4x - 2xy + 3y - 5 = 2x^2 - 2xy$

Сократим одинаковые члены ($2x^2$ и $-2xy$) в обеих частях:

$-4x + 3y - 5 = 0$

Это уравнение прямой. Теперь необходимо проверить, какие точки этой прямой не удовлетворяют ОДЗ.

Найдем точку, в которой $x = y$. Подставим $y = x$ в уравнение прямой:

$-4x + 3(x) - 5 = 0$

$-x - 5 = 0$

$x = -5$

Если $x = -5$, то $y = -5$. Значит, точка $(-5, -5)$ лежит на прямой $-4x + 3y - 5 = 0$, но для нее знаменатель исходной дроби равен нулю. Эту точку нужно исключить из множества решений.

Решением является множество точек прямой $-4x + 3y - 5 = 0$ за исключением точки $(-5, -5)$.

Ответ: $-4x + 3y - 5 = 0$, при $x \neq -5$.