Номер 32.7, страница 203, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 32. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 32.7, страница 203.

32.7. a) $x^2 - y^2 = 0;$

Б) $x^2 + 7xy - 18y^2 = 0;$

В) $x^2 - 3xy + 2y^2 = 0;$

Г) $x^2 + xy + y^2 = 0.$

а)

Дано уравнение $x^2 - y^2 = 0$. Левую часть уравнения можно разложить на множители, используя формулу разности квадратов: $(x - y)(x + y) = 0$. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, мы получаем два случая: 1) $x - y = 0$, откуда следует, что $x = y$. 2) $x + y = 0$, откуда следует, что $x = -y$. Решениями уравнения являются все пары чисел $(x, y)$, которые лежат на прямых $y=x$ и $y=-x$.

Ответ: $x = y$ или $x = -y$.

б)

Дано уравнение $x^2 + 7xy - 18y^2 = 0$. Это однородное уравнение второй степени. Для его решения рассмотрим два случая.

Случай 1: $y = 0$. Подставив $y=0$ в исходное уравнение, получим $x^2 = 0$, что означает $x=0$. Таким образом, пара $(0, 0)$ является решением.

Случай 2: $y \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $y^2$, так как $y^2 \neq 0$: $\frac{x^2}{y^2} + \frac{7xy}{y^2} - \frac{18y^2}{y^2} = 0$ $(\frac{x}{y})^2 + 7(\frac{x}{y}) - 18 = 0$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \frac{x}{y}$. Уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $t$: $t^2 + 7t - 18 = 0$. Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121 = 11^2$. $t_1 = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 11}{2} = -9$. $t_2 = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 11}{2} = 2$. Теперь вернемся к исходным переменным: 1) $\frac{x}{y} = -9 \implies x = -9y$. 2) $\frac{x}{y} = 2 \implies x = 2y$. Эти два соотношения определяют все решения, включая пару $(0, 0)$.

Ответ: $x = -9y$ или $x = 2y$.

в)

Дано уравнение $x^2 - 3xy + 2y^2 = 0$. Это однородное уравнение второй степени.

Случай 1: $y = 0$. При $y=0$ уравнение становится $x^2 = 0$, откуда $x=0$. Пара $(0, 0)$ является решением.

Случай 2: $y \neq 0$. Разделим уравнение на $y^2$: $(\frac{x}{y})^2 - 3(\frac{x}{y}) + 2 = 0$. Пусть $t = \frac{x}{y}$, тогда получаем квадратное уравнение: $t^2 - 3t + 2 = 0$. Это приведенное квадратное уравнение, корни которого легко находятся по теореме Виета: $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$ (так как $1+2=3$ и $1 \cdot 2=2$). Возвращаясь к переменным $x$ и $y$: 1) $\frac{x}{y} = 1 \implies x = y$. 2) $\frac{x}{y} = 2 \implies x = 2y$.

Ответ: $x = y$ или $x = 2y$.

г)

Дано уравнение $x^2 + xy + y^2 = 0$. Это однородное уравнение второй степени.

Случай 1: $y = 0$. При $y=0$ уравнение становится $x^2 = 0$, откуда $x=0$. Пара $(0, 0)$ является решением.

Случай 2: $y \neq 0$. Разделим уравнение на $y^2$: $(\frac{x}{y})^2 + (\frac{x}{y}) + 1 = 0$. Пусть $t = \frac{x}{y}$, тогда получаем квадратное уравнение: $t^2 + t + 1 = 0$. Найдем дискриминант этого уравнения: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$. Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), у этого квадратного уравнения нет действительных корней. Это означает, что не существует действительных решений, для которых $y \neq 0$.

Таким образом, единственным действительным решением исходного уравнения является пара $(0, 0)$.

Ответ: $x = 0, y = 0$.