Номер 32.6, страница 203, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 32. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 32.6, страница 203.

Постройте график уравнения:

32.6. а) $x^2 - 3xy = 0$;

б) $(x - 1)(y + 5) = 0$;

в) $xy + 2y^2 = 0$;

г) $xy - 5x + y = 5$.

а)

Исходное уравнение: $x^2 - 3xy = 0$.

Для построения графика преобразуем уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 3y) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1) $x = 0$. Это уравнение задает ось ординат (ось OY).

2) $x - 3y = 0$. Это уравнение линейной функции. Выразим $y$ через $x$:

$3y = x$

$y = \frac{1}{3}x$

Графиком этой функции является прямая, проходящая через начало координат (0, 0) и, например, точку (3, 1).

Таким образом, график исходного уравнения состоит из двух пересекающихся в начале координат прямых: оси OY и прямой $y = \frac{1}{3}x$.

Ответ: Графиком является пара пересекающихся прямых: $x=0$ и $y=\frac{1}{3}x$.

б)

Исходное уравнение: $(x - 1)(y + 5) = 0$.

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю. Следовательно, уравнение распадается на два:

1) $x - 1 = 0$, откуда $x = 1$.

2) $y + 5 = 0$, откуда $y = -5$.

Графиком уравнения $x = 1$ является вертикальная прямая, проходящая через точку (1, 0) параллельно оси OY.

Графиком уравнения $y = -5$ является горизонтальная прямая, проходящая через точку (0, -5) параллельно оси OX.

График исходного уравнения представляет собой объединение этих двух прямых. Прямые перпендикулярны и пересекаются в точке (1, -5).

Ответ: Графиком является пара перпендикулярных прямых: $x=1$ и $y=-5$.

в)

Исходное уравнение: $xy + 2y^2 = 0$.

Для построения графика преобразуем уравнение. Вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$y(x + 2y) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем совокупность двух уравнений:

1) $y = 0$. Это уравнение задает ось абсцисс (ось OX).

2) $x + 2y = 0$. Это уравнение линейной функции. Выразим $y$ через $x$:

$2y = -x$

$y = -\frac{1}{2}x$

Графиком этой функции является прямая, проходящая через начало координат (0, 0) и, например, точку (2, -1).

Таким образом, график исходного уравнения состоит из двух пересекающихся в начале координат прямых: оси OX и прямой $y = -\frac{1}{2}x$.

Ответ: Графиком является пара пересекающихся прямых: $y=0$ и $y=-\frac{1}{2}x$.

г)

Исходное уравнение: $xy - 5x + y = 5$.

Перенесем все члены в левую часть и преобразуем уравнение методом группировки:

$xy - 5x + y - 5 = 0$

$(xy - 5x) + (y - 5) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x(y - 5) + 1(y - 5) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(y - 5)$:

$(x + 1)(y - 5) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Уравнение распадается на два:

1) $x + 1 = 0$, откуда $x = -1$.

2) $y - 5 = 0$, откуда $y = 5$.

Графиком уравнения $x = -1$ является вертикальная прямая, параллельная оси OY.

Графиком уравнения $y = 5$ является горизонтальная прямая, параллельная оси OX.

График исходного уравнения представляет собой объединение этих двух перпендикулярных прямых, которые пересекаются в точке (-1, 5).

Ответ: Графиком является пара перпендикулярных прямых: $x=-1$ и $y=5$.