Номер 32.11, страница 203, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 32. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 32.11, страница 203.

32.11. График уравнения $f(x; y) = 0$ изображён на рис. 9. Постройте график уравнения:

а) $f(-x; y) = 0$;

б) $f(x; -y) = 0$;

в) $f(-x; -y) = 0$;

г) $f(y; x) = 0$.

Рис. 9

Исходный график, изображенный на рис. 9, представляет собой множество точек $(x; y)$, для которых выполняется равенство $f(x; y) = 0$. Для построения графиков преобразованных уравнений мы определим, как изменяются координаты точек исходного графика. Ключевыми точками исходного графика являются точки излома: $(-2; 0)$, $(0; -2)$, $(2; 3)$, $(4; -3)$.

а) f(−x; y) = 0;

Пусть точка $(x_1; y_1)$ принадлежит графику уравнения $f(-x; y) = 0$. Это означает, что $f(-x_1; y_1) = 0$. Следовательно, точка с координатами $(-x_1; y_1)$ принадлежит исходному графику $f(x; y) = 0$. Таким образом, для каждой точки $(x_0; y_0)$ исходного графика, точка $(-x_0; y_0)$ принадлежит новому графику. Это преобразование является симметричным отражением (симметрией) относительно оси ординат (оси $y$).

Чтобы построить требуемый график, необходимо отразить исходный график симметрично относительно оси $y$. Найдем новые координаты для ключевых точек:

• Точка $(-2; 0)$ переходит в точку $(2; 0)$.
• Точка $(0; -2)$ переходит в точку $(0; -2)$.
• Точка $(2; 3)$ переходит в точку $(-2; 3)$.
• Точка $(4; -3)$ переходит в точку $(-4; -3)$.

Ответ: График уравнения $f(-x; y) = 0$ — это ломаная линия, полученная отражением исходного графика относительно оси $y$. Она состоит из луча, выходящего из точки $(-4; -3)$ и проходящего через точку $(-5; -2)$; отрезка, соединяющего точки $(-4; -3)$ и $(-2; 3)$; отрезка от $(-2; 3)$ до $(0; -2)$; отрезка от $(0; -2)$ до $(2; 0)$; и луча, выходящего из точки $(2; 0)$ и проходящего через точку $(3; 1)$.

б) f(x; −y) = 0;

Пусть точка $(x_1; y_1)$ принадлежит графику уравнения $f(x; -y) = 0$. Это означает, что $f(x_1; -y_1) = 0$. Следовательно, точка с координатами $(x_1; -y_1)$ принадлежит исходному графику $f(x; y) = 0$. Таким образом, для каждой точки $(x_0; y_0)$ исходного графика, точка $(x_0; -y_0)$ принадлежит новому графику. Это преобразование является симметричным отражением относительно оси абсцисс (оси $x$).

Чтобы построить требуемый график, необходимо отразить исходный график симметрично относительно оси $x$. Найдем новые координаты для ключевых точек:

• Точка $(-2; 0)$ переходит в точку $(-2; 0)$.
• Точка $(0; -2)$ переходит в точку $(0; 2)$.
• Точка $(2; 3)$ переходит в точку $(2; -3)$.
• Точка $(4; -3)$ переходит в точку $(4; 3)$.

Ответ: График уравнения $f(x; -y) = 0$ — это ломаная линия, полученная отражением исходного графика относительно оси $x$. Она состоит из луча, выходящего из точки $(-2; 0)$ и проходящего через точку $(-3; -1)$; отрезка, соединяющего точки $(-2; 0)$ и $(0; 2)$; отрезка от $(0; 2)$ до $(2; -3)$; отрезка от $(2; -3)$ до $(4; 3)$; и луча, выходящего из точки $(4; 3)$ и проходящего через точку $(5; 2)$.

в) f(−x; −y) = 0;

Пусть точка $(x_1; y_1)$ принадлежит графику уравнения $f(-x; -y) = 0$. Это означает, что $f(-x_1; -y_1) = 0$. Следовательно, точка с координатами $(-x_1; -y_1)$ принадлежит исходному графику $f(x; y) = 0$. Таким образом, для каждой точки $(x_0; y_0)$ исходного графика, точка $(-x_0; -y_0)$ принадлежит новому графику. Это преобразование является центральной симметрией относительно начала координат $(0; 0)$.

Чтобы построить требуемый график, необходимо отразить исходный график симметрично относительно начала координат. Найдем новые координаты для ключевых точек:

• Точка $(-2; 0)$ переходит в точку $(2; 0)$.
• Точка $(0; -2)$ переходит в точку $(0; 2)$.
• Точка $(2; 3)$ переходит в точку $(-2; -3)$.
• Точка $(4; -3)$ переходит в точку $(-4; 3)$.

Ответ: График уравнения $f(-x; -y) = 0$ — это ломаная линия, полученная отражением исходного графика относительно начала координат. Она состоит из луча, выходящего из точки $(-4; 3)$ и проходящего через точку $(-5; 2)$; отрезка, соединяющего точки $(-4; 3)$ и $(-2; -3)$; отрезка от $(-2; -3)$ до $(0; 2)$; отрезка от $(0; 2)$ до $(2; 0)$; и луча, выходящего из точки $(2; 0)$ и проходящего через точку $(3; -1)$.

г) f(y; x) = 0.

Пусть точка $(x_1; y_1)$ принадлежит графику уравнения $f(y; x) = 0$. Это означает, что $f(y_1; x_1) = 0$. Следовательно, точка с координатами $(y_1; x_1)$ принадлежит исходному графику $f(x; y) = 0$. Таким образом, для каждой точки $(x_0; y_0)$ исходного графика, точка $(y_0; x_0)$ принадлежит новому графику. Это преобразование является симметричным отражением относительно прямой $y = x$.

Чтобы построить требуемый график, необходимо отразить исходный график симметрично относительно прямой $y = x$. Найдем новые координаты для ключевых точек, поменяв местами координаты $x$ и $y$:

• Точка $(-2; 0)$ переходит в точку $(0; -2)$.
• Точка $(0; -2)$ переходит в точку $(-2; 0)$.
• Точка $(2; 3)$ переходит в точку $(3; 2)$.
• Точка $(4; -3)$ переходит в точку $(-3; 4)$.

Ответ: График уравнения $f(y; x) = 0$ — это ломаная линия, полученная отражением исходного графика относительно прямой $y=x$. Она состоит из луча, выходящего из точки $(-3; 4)$ и проходящего через точку $(-2; 5)$; отрезка, соединяющего точки $(-3; 4)$ и $(3; 2)$; отрезка от $(3; 2)$ до $(-2; 0)$; отрезка от $(-2; 0)$ до $(0; -2)$; и луча, выходящего из точки $(0; -2)$ и проходящего через точку $(1; -3)$.