Номер 32.17, страница 205, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 32. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 32.17, страница 205.

Постройте график уравнения:

32.17. a) $y = \sqrt{4 - x^2}$;

б) $|y| = \sqrt{4 - x}$;

в) $y = -\sqrt{4 - x^2}$;

г) $x = \sqrt{4 - y^2}$.

а) $y = \sqrt{4 - x^2}$

Данное уравнение определяет функцию. Найдем область определения: выражение под знаком корня должно быть неотрицательным. $4 - x^2 \geq 0$ $x^2 \leq 4$ $-2 \leq x \leq 2$

Также, по определению арифметического квадратного корня, значения $y$ должны быть неотрицательными: $y \geq 0$.

Чтобы определить форму графика, возведем обе части уравнения в квадрат: $y^2 = (\sqrt{4 - x^2})^2$ $y^2 = 4 - x^2$ $x^2 + y^2 = 4$ Это каноническое уравнение окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R = \sqrt{4} = 2$.

Учитывая первоначальное условие $y \geq 0$, мы заключаем, что график представляет собой только ту часть окружности, которая лежит в верхней полуплоскости (над осью Ox, включая точки на оси).

Ответ: График уравнения - это верхняя полуокружность с центром в точке (0, 0) и радиусом 2, расположенная в верхней полуплоскости ($y \geq 0$).

б) $|y| = \sqrt{4 - x}$

Найдем область допустимых значений. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $4 - x \geq 0$ $x \leq 4$

Левая часть уравнения $|y|$ всегда неотрицательна, так же как и правая часть $\sqrt{4 - x}$. Возведем обе части уравнения в квадрат: $(|y|)^2 = (\sqrt{4 - x})^2$ $y^2 = 4 - x$

Выразим $x$ через $y$: $x = 4 - y^2$

Это уравнение параболы. Так как в квадрат возведена переменная $y$, ветви параболы направлены горизонтально. Коэффициент при $y^2$ равен -1 (отрицательный), значит, ветви направлены влево. Вершина параболы находится в точке, где $y=0$, то есть $x=4$. Координаты вершины - (4, 0). Исходное уравнение $|y| = \sqrt{4-x}$ симметрично относительно оси Ox, так же как и полученное уравнение параболы $x=4-y^2$.

Ответ: График уравнения - это парабола с вершиной в точке (4, 0), ветви которой направлены влево, симметричная относительно оси Ox.

в) $y = -\sqrt{4 - x^2}$

Это уравнение похоже на уравнение из пункта а). Область определения та же: $-2 \leq x \leq 2$.

Однако из-за знака минус перед корнем, значения $y$ будут неположительными: $y \leq 0$.

Возведем обе части уравнения в квадрат: $y^2 = (-\sqrt{4 - x^2})^2$ $y^2 = 4 - x^2$ $x^2 + y^2 = 4$

Мы снова получили уравнение окружности с центром в (0, 0) и радиусом $R=2$. Но, учитывая условие $y \leq 0$, мы берем только ту часть окружности, которая лежит в нижней полуплоскости (под осью Ox, включая точки на оси).

Ответ: График уравнения - это нижняя полуокружность с центром в точке (0, 0) и радиусом 2, расположенная в нижней полуплоскости ($y \leq 0$).

г) $x = \sqrt{4 - y^2}$

Найдем область допустимых значений. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $4 - y^2 \geq 0$ $y^2 \leq 4$ $-2 \leq y \leq 2$

По определению арифметического квадратного корня, значения $x$ должны быть неотрицательными: $x \geq 0$.

Возведем обе части уравнения в квадрат: $x^2 = (\sqrt{4 - y^2})^2$ $x^2 = 4 - y^2$ $x^2 + y^2 = 4$

И снова мы получили уравнение окружности с центром в (0, 0) и радиусом $R=2$. Учитывая условие $x \geq 0$, мы берем только ту часть окружности, которая лежит в правой полуплоскости (справа от оси Oy, включая точки на оси).

Ответ: График уравнения - это правая полуокружность с центром в точке (0, 0) и радиусом 2, расположенная в правой полуплоскости ($x \geq 0$).