Страница 205, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

32.15. Постройте на координатной плоскости множество точек $(x; y)$ таких, что $|x| + 3|y| = 6$, и определите все значения, которые на этом множестве принимает выражение:

а) $x$;

б) $y$;

в) $x + 3y$;

г) $x + y$.

Сначала построим на координатной плоскости множество точек $(x; y)$, удовлетворяющих уравнению $|x| + 3|y| = 6$. Для этого раскроем модули, рассмотрев четыре случая, соответствующие четырем координатным квадрантам.

• 1. Первый квадрант: $x \ge 0, y \ge 0$.
  Уравнение принимает вид $x + 3y = 6$. Это отрезок прямой, соединяющий точки, в которых он пересекает оси координат: $(6, 0)$ и $(0, 2)$.
• 2. Второй квадрант: $x < 0, y \ge 0$.
  Уравнение принимает вид $-x + 3y = 6$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(-6, 0)$ и $(0, 2)$.
• 3. Третий квадрант: $x < 0, y < 0$.
  Уравнение принимает вид $-x - 3y = 6$, или $x + 3y = -6$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(-6, 0)$ и $(0, -2)$.
• 4. Четвертый квадрант: $x \ge 0, y < 0$.
  Уравнение принимает вид $x - 3y = 6$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(6, 0)$ и $(0, -2)$.

Таким образом, искомое множество точек — это ромб, вершины которого находятся в точках $A(6, 0)$, $B(0, 2)$, $C(-6, 0)$ и $D(0, -2)$.

Теперь определим все значения, которые принимают указанные выражения на этом множестве. Для линейных выражений вида $ax+by$ на замкнутом многоугольнике, каковым является ромб, минимальные и максимальные значения всегда достигаются в его вершинах.

а)
Рассмотрим выражение $x$. Его значение — это абсцисса точки на ромбе. Глядя на вершины, мы видим, что наименьшее значение абсциссы равно $-6$ (в точке $C(-6, 0)$), а наибольшее равно $6$ (в точке $A(6, 0)$). Поскольку ромб является связным множеством, переменная $x$ принимает все значения между минимальным и максимальным.

Ответ: $x \in [-6, 6]$.

б)
Рассмотрим выражение $y$. Его значение — это ордината точки на ромбе. Наименьшее значение ординаты равно $-2$ (в точке $D(0, -2)$), а наибольшее равно $2$ (в точке $B(0, 2)$). Переменная $y$ принимает все значения из отрезка.

Ответ: $y \in [-2, 2]$.

в)
Рассмотрим выражение $x + 3y$. Вычислим его значения в вершинах ромба:

• В точке $A(6, 0)$: $6 + 3 \cdot 0 = 6$.
• В точке $B(0, 2)$: $0 + 3 \cdot 2 = 6$.
• В точке $C(-6, 0)$: $-6 + 3 \cdot 0 = -6$.
• В точке $D(0, -2)$: $0 + 3 \cdot (-2) = -6$.

Наименьшее значение выражения равно $-6$, а наибольшее равно $6$.

Ответ: $x + 3y \in [-6, 6]$.

г)
Рассмотрим выражение $x + y$. Вычислим его значения в вершинах ромба:

• В точке $A(6, 0)$: $6 + 0 = 6$.
• В точке $B(0, 2)$: $0 + 2 = 2$.
• В точке $C(-6, 0)$: $-6 + 0 = -6$.
• В точке $D(0, -2)$: $0 + (-2) = -2$.

Наименьшее значение равно $-6$ (в точке $C$), а наибольшее равно $6$ (в точке $A$). Выражение принимает все значения между ними.

Ответ: $x + y \in [-6, 6]$.

32.16. Постройте на координатной плоскости множество точек $ (x; y) $ таких, что $ |x - 3| + |y + 3| = 3 $, и определите все значения, которые на этом множестве принимает выражение:

а) $ -3x - 2y $

б) $ x^2 + y^2 $

в) $ 5x + 7y $

г) $ xy $

Множество точек, удовлетворяющих уравнению $|x - 3| + |y + 3| = 3$, представляет собой квадрат с центром в точке $(3, -3)$ и вершинами, смещенными от центра на 3 единицы по осям. Найдем координаты вершин:

• Вершина A: $(3, -3+3) = (3, 0)$
• Вершина B: $(3+3, -3) = (6, -3)$
• Вершина C: $(3, -3-3) = (3, -6)$
• Вершина D: $(3-3, -3) = (0, -3)$

Таким образом, множество точек — это контур квадрата с вершинами в точках A(3, 0), B(6, -3), C(3, -6) и D(0, -3). Для нахождения диапазона значений выражений будем анализировать их на этом множестве.

а) $-3x - 2y$

Выражение $F(x, y) = -3x - 2y$ является линейным. Линейная функция на многоугольнике достигает своих наибольшего и наименьшего значений в его вершинах. Вычислим значения выражения в вершинах квадрата:

• $F(3, 0) = -3(3) - 2(0) = -9$
• $F(6, -3) = -3(6) - 2(-3) = -18 + 6 = -12$
• $F(3, -6) = -3(3) - 2(-6) = -9 + 12 = 3$
• $F(0, -3) = -3(0) - 2(-3) = 6$

Наименьшее значение равно $-12$, а наибольшее равно $6$.
Ответ: $[-12; 6]$.

б) $x^2 + y^2$

Выражение $F(x, y) = x^2 + y^2$ представляет собой квадрат расстояния от начала координат $(0, 0)$ до точки $(x, y)$ на квадрате.
Найдем наибольшее значение. Оно будет достигаться в одной из вершин, наиболее удаленной от начала координат. Вычислим квадраты расстояний до вершин:

• $d_A^2 = 3^2 + 0^2 = 9$
• $d_B^2 = 6^2 + (-3)^2 = 36 + 9 = 45$
• $d_C^2 = 3^2 + (-6)^2 = 9 + 36 = 45$
• $d_D^2 = 0^2 + (-3)^2 = 9$

Наибольшее значение равно $45$.
Найдем наименьшее значение. Оно будет достигаться в точке на стороне квадрата, ближайшей к началу координат. Начало координат $(0, 0)$ находится вне квадрата. Ближайшей стороной является сторона AD, лежащая на прямой $y = x - 3$ (при $x \in [0, 3]$). Расстояние от точки $(0,0)$ до прямой $x - y - 3 = 0$ равно $d = \frac{|1 \cdot 0 - 1 \cdot 0 - 3|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$. Точка на прямой, реализующая это расстояние, имеет координаты $(1.5, -1.5)$, и она принадлежит отрезку AD. Тогда минимальное значение выражения $x^2 + y^2$ равно $d^2 = \left(\frac{3}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{9}{2} = 4.5$.
Ответ: $[4.5; 45]$.

в) $5x + 7y$

Выражение $F(x, y) = 5x + 7y$ является линейным. Его экстремумы достигаются в вершинах квадрата.

• $F(3, 0) = 5(3) + 7(0) = 15$
• $F(6, -3) = 5(6) + 7(-3) = 30 - 21 = 9$
• $F(3, -6) = 5(3) + 7(-6) = 15 - 42 = -27$
• $F(0, -3) = 5(0) + 7(-3) = -21$

Наименьшее значение равно $-27$, а наибольшее равно $15$.
Ответ: $[-27; 15]$.

г) $xy$

Выражение $F(x, y) = xy$ не является линейным, поэтому нужно исследовать его поведение на каждой стороне квадрата.
Значения в вершинах: $F(3,0)=0$, $F(6,-3)=-18$, $F(3,-6)=-18$, $F(0,-3)=0$.
1. Сторона AD: $y = x - 3$ при $x \in [0, 3]$. Тогда $F(x) = x(x-3) = x^2 - 3x$. Это парабола с вершиной в $x = 1.5$. Значение в вершине: $F(1.5) = 1.5^2 - 3 \cdot 1.5 = 2.25 - 4.5 = -2.25$. На этом отрезке значения меняются в диапазоне $[-2.25; 0]$.
2. Сторона DC: $y = -x - 3$ при $x \in [0, 3]$. Тогда $F(x) = x(-x-3) = -x^2 - 3x$. На этом отрезке функция убывает от $F(0)=0$ до $F(3)=-18$. Диапазон $[-18; 0]$.
3. Сторона CB: $y = x - 9$ при $x \in [3, 6]$. Тогда $F(x) = x(x-9) = x^2 - 9x$. Это парабола с вершиной в $x = 4.5$. Значение в вершине: $F(4.5) = 4.5^2 - 9 \cdot 4.5 = 20.25 - 40.5 = -20.25$. На концах отрезка $F(3)=-18$ и $F(6)=-18$. Диапазон на этой стороне $[-20.25; -18]$.
4. Сторона BA: $y = -x + 3$ при $x \in [3, 6]$. Тогда $F(x) = x(-x+3) = -x^2 + 3x$. На этом отрезке функция убывает от $F(3)=0$ до $F(6)=-18$. Диапазон $[-18; 0]$.
Объединяя все полученные диапазоны значений $[-2.25; 0] \cup [-18; 0] \cup [-20.25; -18] \cup [-18; 0]$, получаем итоговый диапазон.
Наименьшее значение равно $-20.25$, а наибольшее равно $0$.
Ответ: $[-20.25; 0]$.

Постройте график уравнения:

32.17. a) $y = \sqrt{4 - x^2}$;

б) $|y| = \sqrt{4 - x}$;

в) $y = -\sqrt{4 - x^2}$;

г) $x = \sqrt{4 - y^2}$.

а) $y = \sqrt{4 - x^2}$

Данное уравнение определяет функцию. Найдем область определения: выражение под знаком корня должно быть неотрицательным. $4 - x^2 \geq 0$ $x^2 \leq 4$ $-2 \leq x \leq 2$

Также, по определению арифметического квадратного корня, значения $y$ должны быть неотрицательными: $y \geq 0$.

Чтобы определить форму графика, возведем обе части уравнения в квадрат: $y^2 = (\sqrt{4 - x^2})^2$ $y^2 = 4 - x^2$ $x^2 + y^2 = 4$ Это каноническое уравнение окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R = \sqrt{4} = 2$.

Учитывая первоначальное условие $y \geq 0$, мы заключаем, что график представляет собой только ту часть окружности, которая лежит в верхней полуплоскости (над осью Ox, включая точки на оси).

Ответ: График уравнения - это верхняя полуокружность с центром в точке (0, 0) и радиусом 2, расположенная в верхней полуплоскости ($y \geq 0$).

б) $|y| = \sqrt{4 - x}$

Найдем область допустимых значений. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $4 - x \geq 0$ $x \leq 4$

Левая часть уравнения $|y|$ всегда неотрицательна, так же как и правая часть $\sqrt{4 - x}$. Возведем обе части уравнения в квадрат: $(|y|)^2 = (\sqrt{4 - x})^2$ $y^2 = 4 - x$

Выразим $x$ через $y$: $x = 4 - y^2$

Это уравнение параболы. Так как в квадрат возведена переменная $y$, ветви параболы направлены горизонтально. Коэффициент при $y^2$ равен -1 (отрицательный), значит, ветви направлены влево. Вершина параболы находится в точке, где $y=0$, то есть $x=4$. Координаты вершины - (4, 0). Исходное уравнение $|y| = \sqrt{4-x}$ симметрично относительно оси Ox, так же как и полученное уравнение параболы $x=4-y^2$.

Ответ: График уравнения - это парабола с вершиной в точке (4, 0), ветви которой направлены влево, симметричная относительно оси Ox.

в) $y = -\sqrt{4 - x^2}$

Это уравнение похоже на уравнение из пункта а). Область определения та же: $-2 \leq x \leq 2$.

Однако из-за знака минус перед корнем, значения $y$ будут неположительными: $y \leq 0$.

Возведем обе части уравнения в квадрат: $y^2 = (-\sqrt{4 - x^2})^2$ $y^2 = 4 - x^2$ $x^2 + y^2 = 4$

Мы снова получили уравнение окружности с центром в (0, 0) и радиусом $R=2$. Но, учитывая условие $y \leq 0$, мы берем только ту часть окружности, которая лежит в нижней полуплоскости (под осью Ox, включая точки на оси).

Ответ: График уравнения - это нижняя полуокружность с центром в точке (0, 0) и радиусом 2, расположенная в нижней полуплоскости ($y \leq 0$).

г) $x = \sqrt{4 - y^2}$

Найдем область допустимых значений. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $4 - y^2 \geq 0$ $y^2 \leq 4$ $-2 \leq y \leq 2$

По определению арифметического квадратного корня, значения $x$ должны быть неотрицательными: $x \geq 0$.

Возведем обе части уравнения в квадрат: $x^2 = (\sqrt{4 - y^2})^2$ $x^2 = 4 - y^2$ $x^2 + y^2 = 4$

И снова мы получили уравнение окружности с центром в (0, 0) и радиусом $R=2$. Учитывая условие $x \geq 0$, мы берем только ту часть окружности, которая лежит в правой полуплоскости (справа от оси Oy, включая точки на оси).

Ответ: График уравнения - это правая полуокружность с центром в точке (0, 0) и радиусом 2, расположенная в правой полуплоскости ($x \geq 0$).

32.18. a) $y = \sqrt{1 - x^2}$;

б) $y = -\sqrt{1 - (x - 1)^2}$;

В) $y + 2 = -\sqrt{1 - x^2}$;

Г) $|y| = -\sqrt{1 - x^2} + 3.$

а) Данное уравнение $y = \sqrt{1 - x^2}$. Найдем область определения функции: выражение под корнем должно быть неотрицательным, то есть $1 - x^2 \ge 0$. Это неравенство равносильно $x^2 \le 1$, что означает $-1 \le x \le 1$. По определению арифметического квадратного корня, область значений функции $y \ge 0$. Чтобы определить геометрический образ, возведем обе части уравнения в квадрат: $y^2 = (\sqrt{1 - x^2})^2$ $y^2 = 1 - x^2$ Перенесем $x^2$ в левую часть уравнения: $x^2 + y^2 = 1$ Это каноническое уравнение окружности с центром в начале координат, точке $(0, 0)$, и радиусом $r = \sqrt{1} = 1$. Учитывая ограничение $y \ge 0$, мы получаем только ту часть окружности, которая находится в верхней полуплоскости (над осью Ox, включая точки на самой оси).
Ответ: Верхняя полуокружность окружности $x^2 + y^2 = 1$ с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом 1.

б) Данное уравнение $y = -\sqrt{1 - (x - 1)^2}$. Найдем область определения: $1 - (x - 1)^2 \ge 0 \implies (x - 1)^2 \le 1$. Извлекая корень из обеих частей, получаем $|x - 1| \le 1$, что равносильно $-1 \le x - 1 \le 1$. Прибавив 1 ко всем частям, получаем $0 \le x \le 2$. Область значений: так как перед корнем стоит знак минус, $y \le 0$. Возведем обе части уравнения в квадрат: $y^2 = (-\sqrt{1 - (x - 1)^2})^2$ $y^2 = 1 - (x - 1)^2$ Перенесем $(x - 1)^2$ в левую часть: $(x - 1)^2 + y^2 = 1$ Это уравнение окружности со смещенным центром. Центр окружности находится в точке $(1, 0)$, а радиус равен $r = 1$. Учитывая ограничение $y \le 0$, мы получаем только ту часть окружности, которая находится в нижней полуплоскости (под осью Ox, включая точки на самой оси).
Ответ: Нижняя полуокружность окружности $(x - 1)^2 + y^2 = 1$ с центром в точке $(1, 0)$ и радиусом 1.

в) Данное уравнение $y + 2 = -\sqrt{1 - x^2}$. Найдем область определения: $1 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 1 \implies -1 \le x \le 1$. Из вида уравнения следует, что $y + 2 \le 0$, то есть $y \le -2$. Преобразуем уравнение, возведя обе части в квадрат: $(y + 2)^2 = (-\sqrt{1 - x^2})^2$ $(y + 2)^2 = 1 - x^2$ Перенесем $x^2$ в левую часть: $x^2 + (y + 2)^2 = 1$ Это уравнение окружности с центром в точке $(0, -2)$ и радиусом $r = 1$. Условие $y \le -2$ означает, что мы рассматриваем только ту часть окружности, которая лежит не выше горизонтальной прямой $y = -2$. Это соответствует нижней полуокружности.
Ответ: Нижняя полуокружность окружности $x^2 + (y + 2)^2 = 1$ с центром в точке $(0, -2)$ и радиусом 1.

г) Дано уравнение $|y| = -\sqrt{1 - x^2} + 3$. Область определения: $1 - x^2 \ge 0 \implies -1 \le x \le 1$. Рассмотрим правую часть уравнения: $3 - \sqrt{1 - x^2}$. Так как $0 \le \sqrt{1 - x^2} \le 1$ для $x \in [-1, 1]$, то $2 \le 3 - \sqrt{1 - x^2} \le 3$. Правая часть уравнения всегда положительна. Уравнение $|y| = f(x)$ равносильно совокупности двух уравнений: $y = f(x)$ или $y = -f(x)$. 1. Рассмотрим случай $y = 3 - \sqrt{1 - x^2}$. Перенесем 3 в левую часть: $y - 3 = -\sqrt{1 - x^2}$. Возведем в квадрат: $(y - 3)^2 = 1 - x^2 \implies x^2 + (y - 3)^2 = 1$. Это окружность с центром в $(0, 3)$ и радиусом 1. Условие $y - 3 \le 0$ (т.к. равно отрицательному корню) означает, что $y \le 3$, что соответствует нижней полуокружности этой окружности. 2. Рассмотрим случай $y = -(3 - \sqrt{1 - x^2}) = \sqrt{1 - x^2} - 3$. Перенесем -3 в левую часть: $y + 3 = \sqrt{1 - x^2}$. Возведем в квадрат: $(y + 3)^2 = 1 - x^2 \implies x^2 + (y + 3)^2 = 1$. Это окружность с центром в $(0, -3)$ и радиусом 1. Условие $y + 3 \ge 0$ (т.к. равно положительному корню) означает, что $y \ge -3$, что соответствует верхней полуокружности этой окружности. Таким образом, итоговый график состоит из двух полуокружностей.
Ответ: Объединение двух фигур: нижней полуокружности окружности $x^2 + (y - 3)^2 = 1$ (с центром в $(0, 3)$ и радиусом 1) и верхней полуокружности окружности $x^2 + (y + 3)^2 = 1$ (с центром в $(0, -3)$ и радиусом 1).

32.19. a) $|y + 2| = \sqrt{4 - x^2}$;

б) $|y| = -\sqrt{4 - x^2} + 2;$

в) $|y| + 2 = \sqrt{4 - x^2}$;

г) $|y + 2| = -\sqrt{4 - (x - 1)^2}$.

а) $|y + 2| = \sqrt{4 - x^2}$

Для того чтобы уравнение имело смысл, выражение под корнем должно быть неотрицательным: $4 - x^2 \ge 0$, что эквивалентно $x^2 \le 4$, или $-2 \le x \le 2$.

Левая часть уравнения, $|y + 2|$, всегда неотрицательна. Правая часть, $\sqrt{4 - x^2}$, также всегда неотрицательна (по определению арифметического квадратного корня). Так как обе части уравнения неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, не опасаясь появления посторонних корней: $(|y + 2|)^2 = (\sqrt{4 - x^2})^2$ $(y + 2)^2 = 4 - x^2$

Перенесем $x^2$ в левую часть: $x^2 + (y + 2)^2 = 4$ $x^2 + (y + 2)^2 = 2^2$

Это каноническое уравнение окружности с центром в точке $(0, -2)$ и радиусом $R = 2$. Условие $-2 \le x \le 2$ выполняется для всех точек этой окружности.

Ответ: Графиком уравнения является окружность с центром в точке $(0, -2)$ и радиусом 2.

б) $|y| = -\sqrt{4 - x^2} + 2$

Определим область допустимых значений для $x$. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $4 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 4 \implies -2 \le x \le 2$.

Левая часть уравнения, $|y|$, неотрицательна. Следовательно, и правая часть должна быть неотрицательной: $-\sqrt{4 - x^2} + 2 \ge 0$ $2 \ge \sqrt{4 - x^2}$ Возводим в квадрат (обе части неотрицательны): $4 \ge 4 - x^2$ $0 \ge -x^2$ $x^2 \ge 0$. Это неравенство верно для любого действительного $x$. Таким образом, единственным ограничением остается $-2 \le x \le 2$.

Уравнение вида $|y| = f(x)$ равносильно совокупности двух уравнений: $y = f(x)$ и $y = -f(x)$. Рассмотрим оба случая:

1) $y = 2 - \sqrt{4 - x^2}$. Преобразуем уравнение: $y - 2 = -\sqrt{4 - x^2}$. Отсюда следует, что $y - 2 \le 0$, то есть $y \le 2$. Возведем в квадрат: $(y - 2)^2 = 4 - x^2$, что приводит к $x^2 + (y - 2)^2 = 4$. Это уравнение окружности с центром в $(0, 2)$ и радиусом 2. Условие $y \le 2$ означает, что мы берем только нижнюю полукружность.

2) $y = - (2 - \sqrt{4 - x^2}) = \sqrt{4 - x^2} - 2$. Преобразуем: $y + 2 = \sqrt{4 - x^2}$. Отсюда следует, что $y + 2 \ge 0$, то есть $y \ge -2$. Возведем в квадрат: $(y + 2)^2 = 4 - x^2$, что приводит к $x^2 + (y + 2)^2 = 4$. Это уравнение окружности с центром в $(0, -2)$ и радиусом 2. Условие $y \ge -2$ означает, что мы берем только верхнюю полукружность.

Ответ: График уравнения представляет собой объединение двух полуокружностей: нижней полуокружности с центром в $(0, 2)$ и радиусом 2, и верхней полуокружности с центром в $(0, -2)$ и радиусом 2. Обе полуокружности проходят через точку $(0,0)$.

в) $|y| + 2 = \sqrt{4 - x^2}$

Перепишем уравнение в виде: $|y| = \sqrt{4 - x^2} - 2$.

Область определения $x$ задается условием $4 - x^2 \ge 0$, то есть $-2 \le x \le 2$.

Так как левая часть $|y|$ всегда неотрицательна, правая часть также должна быть неотрицательной: $\sqrt{4 - x^2} - 2 \ge 0$ $\sqrt{4 - x^2} \ge 2$ Возводя обе части в квадрат, получаем: $4 - x^2 \ge 4$ $-x^2 \ge 0$ $x^2 \le 0$

Единственное действительное число, удовлетворяющее этому неравенству, — это $x = 0$. Подставим $x = 0$ в исходное уравнение, чтобы найти $y$: $|y| = \sqrt{4 - 0^2} - 2$ $|y| = 2 - 2$ $|y| = 0$ $y = 0$

Следовательно, только одна точка $(0, 0)$ удовлетворяет данному уравнению.

Ответ: Графиком уравнения является единственная точка $(0, 0)$.

г) $|y + 2| = -\sqrt{4 - (x - 1)^2}$

Рассмотрим левую и правую части уравнения. Левая часть, $|y + 2|$, как модуль, всегда неотрицательна: $|y + 2| \ge 0$. Правая часть, $-\sqrt{4 - (x - 1)^2}$, представляет собой арифметический квадратный корень со знаком минус, поэтому она всегда неположительна: $-\sqrt{4 - (x - 1)^2} \le 0$.

Равенство между неотрицательной и неположительной величиной возможно только в том случае, если обе величины равны нулю. Таким образом, уравнение равносильно системе двух уравнений: $$ \begin{cases} |y + 2| = 0 \\ -\sqrt{4 - (x - 1)^2} = 0 \end{cases} $$

Решим первое уравнение: $|y + 2| = 0 \implies y + 2 = 0 \implies y = -2$.

Решим второе уравнение: $-\sqrt{4 - (x - 1)^2} = 0$ $\sqrt{4 - (x - 1)^2} = 0$ $4 - (x - 1)^2 = 0$ $(x - 1)^2 = 4$ $x - 1 = \pm 2$

Отсюда получаем два значения для $x$: $x_1 = 1 + 2 = 3$ $x_2 = 1 - 2 = -1$

Таким образом, существуют две точки, удовлетворяющие исходному уравнению: одна с $x=3$ и $y=-2$, а другая с $x=-1$ и $y=-2$.

Ответ: График уравнения состоит из двух точек: $(-1, -2)$ и $(3, -2)$.

32.20. a) $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 16;$

б) $(x - 1)^2 + (|y| - 2)^2 = 16;$

в) $(|x| - 1)^2 + (y - 2)^2 = 16;$

г) $(|x| - 1)^2 + (|y| - 2)^2 = 16.$

а) $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$

Это уравнение является стандартным уравнением окружности вида $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0)$ — координаты центра окружности, а $R$ — её радиус.

Сравнивая данное уравнение с общим видом, находим:

• Координаты центра: $x_0 = 1$, $y_0 = 2$. Таким образом, центр окружности находится в точке $(1, 2)$.
• Квадрат радиуса: $R^2 = 16$. Следовательно, радиус $R = \sqrt{16} = 4$.

Таким образом, данное уравнение задаёт окружность с центром в точке $(1, 2)$ и радиусом 4.

Ответ: Окружность с центром в точке $(1, 2)$ и радиусом $4$.

б) $(x - 1)^2 + (|y| - 2)^2 = 16$

Это уравнение получено из уравнения окружности в пункте а) путём замены $y$ на $|y|$. Так как $|-y| = |y|$, график данного уравнения симметричен относительно оси абсцисс (оси Ox).

Для построения графика рассмотрим сначала случай, когда $y \ge 0$. В этом случае $|y| = y$, и уравнение принимает вид:

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$.

Это часть окружности из пункта а), которая лежит в верхней полуплоскости (где $y \ge 0$).

Полный график уравнения $(x - 1)^2 + (|y| - 2)^2 = 16$ получается, если взять эту часть графика (для $y \ge 0$) и симметрично отразить её относительно оси Ox.

Отражённая часть является дугой окружности, которая задаётся уравнением $(x-1)^2 + (-y-2)^2 = 16$, то есть $(x-1)^2 + (y+2)^2 = 16$. Это окружность с центром в $(1, -2)$ и радиусом $4$.

Итоговый график представляет собой объединение двух дуг окружностей:

1. Часть окружности $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$, для которой $y \ge 0$.
2. Часть окружности $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 16$, для которой $y \le 0$.

Ответ: Фигура, состоящая из части окружности с центром в $(1, 2)$ и радиусом $4$, расположенной в верхней полуплоскости ($y \ge 0$), и её симметричного отражения относительно оси Ox.

в) $(|x| - 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$

Это уравнение получено из уравнения окружности в пункте а) путём замены $x$ на $|x|$. Так как $|-x| = |x|$, график данного уравнения симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

Для построения графика рассмотрим сначала случай, когда $x \ge 0$. В этом случае $|x| = x$, и уравнение принимает вид:

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$.

Это часть окружности из пункта а), которая лежит в правой полуплоскости (где $x \ge 0$).

Полный график уравнения $(|x| - 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$ получается, если взять эту часть графика (для $x \ge 0$) и симметрично отразить её относительно оси Oy.

Отражённая часть является дугой окружности, которая задаётся уравнением $(-x-1)^2 + (y-2)^2 = 16$, то есть $(x+1)^2 + (y-2)^2 = 16$. Это окружность с центром в $(-1, 2)$ и радиусом $4$.

Итоговый график представляет собой объединение двух дуг окружностей:

1. Часть окружности $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$, для которой $x \ge 0$.
2. Часть окружности $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$, для которой $x \le 0$.

Ответ: Фигура, состоящая из части окружности с центром в $(1, 2)$ и радиусом $4$, расположенной в правой полуплоскости ($x \ge 0$), и её симметричного отражения относительно оси Oy.

г) $(|x| - 1)^2 + (|y| - 2)^2 = 16$

В этом уравнении переменные $x$ и $y$ находятся под знаком модуля. Это означает, что график симметричен как относительно оси Ox, так и относительно оси Oy (а значит, и относительно начала координат).

Для построения графика рассмотрим сначала случай, когда $x \ge 0$ и $y \ge 0$ (первая координатная четверть). В этом случае $|x| = x$ и $|y| = y$, и уравнение принимает вид:

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$.

Это часть окружности из пункта а), которая лежит в первой координатной четверти.

Полный график получается, если взять эту часть и последовательно отразить её относительно оси Oy, затем обе части отразить относительно оси Ox. В результате мы получим объединение четырёх дуг окружностей:

• В первой четверти ($x \ge 0, y \ge 0$): дуга окружности $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$.
• Во второй четверти ($x \le 0, y \ge 0$): дуга окружности $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 16$.
• В третьей четверти ($x \le 0, y \le 0$): дуга окружности $(x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 16$.
• В четвёртой четверти ($x \ge 0, y \le 0$): дуга окружности $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 16$.

Все четыре дуги принадлежат окружностям с радиусом $4$ и центрами в точках $(1, 2)$, $(-1, 2)$, $(-1, -2)$ и $(1, -2)$ соответственно.

Ответ: Фигура, состоящая из части окружности с центром в $(1, 2)$ и радиусом $4$, расположенной в первой координатной четверти, и её симметричных отражений относительно осей Ox, Oy и начала координат.

32.21. a) $x + 2y = 7;$

Б) $7x + 2y = 1;$

В) $5x + y = 17;$

Г) $7x - 12y = 1.$

а) Дано линейное диофантово уравнение $x + 2y = 7$.
Это уравнение нужно решить в целых числах. Выразим переменную $x$ через $y$:
$x = 7 - 2y$
Поскольку $x$ и $y$ должны быть целыми числами, из этого выражения видно, что для любого целого значения $y$ значение $x$ также будет целым. Обозначим $y$ через целочисленный параметр $k$.
Пусть $y = k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Тогда $x = 7 - 2k$.
Таким образом, общее решение уравнения в целых числах имеет вид:$x = 7 - 2k$, $y = k$.
Ответ: $x = 7 - 2k, y = k$, где $k$ — любое целое число.

б) Дано линейное диофантово уравнение $7x + 2y = 1$.
Выразим член с переменной $y$:
$2y = 1 - 7x$
Чтобы $y$ было целым числом, выражение $1 - 7x$ должно быть четным, то есть делиться на 2. Запишем это условие в виде сравнения по модулю 2:
$1 - 7x \equiv 0 \pmod{2}$
Поскольку $7 \equiv 1 \pmod{2}$, сравнение упрощается:
$1 - x \equiv 0 \pmod{2}$
$x \equiv 1 \pmod{2}$
Это означает, что $x$ должно быть нечетным числом. Любое нечетное число можно представить в виде $x = 2k + 1$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Теперь подставим это выражение для $x$ в формулу для $y$:
$y = \frac{1 - 7x}{2} = \frac{1 - 7(2k + 1)}{2} = \frac{1 - 14k - 7}{2} = \frac{-6 - 14k}{2} = -3 - 7k$
Таким образом, общее решение уравнения в целых числах:
$x = 2k + 1$, $y = -3 - 7k$.
Ответ: $x = 2k + 1, y = -3 - 7k$, где $k$ — любое целое число.

в) Дано линейное диофантово уравнение $5x + y = 17$.
В этом уравнении легко выразить переменную $y$ через $x$:
$y = 17 - 5x$
Из этого выражения видно, что для любого целого значения $x$ значение $y$ также будет целым. Введем целочисленный параметр $k$.
Пусть $x = k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Тогда $y = 17 - 5k$.
Общее решение уравнения в целых числах имеет вид:$x = k$, $y = 17 - 5k$.
Ответ: $x = k, y = 17 - 5k$, где $k$ — любое целое число.

г) Дано линейное диофантово уравнение $7x - 12y = 1$.
Коэффициенты при $x$ и $y$ равны 7 и -12. Наибольший общий делитель $\text{НОД}(7, 12) = 1$, который делит правую часть уравнения (1), следовательно, уравнение имеет решения в целых числах.Выразим $x$ через $y$:
$7x = 1 + 12y$
$x = \frac{1 + 12y}{7}$
Для того чтобы $x$ было целым числом, выражение $1 + 12y$ должно делиться на 7. Запишем это в виде сравнения по модулю 7:
$1 + 12y \equiv 0 \pmod{7}$
Поскольку $12 \equiv 5 \pmod{7}$, мы можем упростить сравнение:
$1 + 5y \equiv 0 \pmod{7}$
$5y \equiv -1 \pmod{7}$
$5y \equiv 6 \pmod{7}$
Чтобы решить это сравнение, нужно найти число, обратное к 5 по модулю 7. Методом подбора находим, что $5 \cdot 3 = 15 \equiv 1 \pmod{7}$. Значит, обратное число — это 3. Умножим обе части сравнения на 3:
$3 \cdot 5y \equiv 3 \cdot 6 \pmod{7}$
$15y \equiv 18 \pmod{7}$
$y \equiv 4 \pmod{7}$
Это означает, что $y$ можно представить в виде $y = 7k + 4$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Теперь подставим это выражение для $y$ в формулу для $x$:
$x = \frac{1 + 12(7k + 4)}{7} = \frac{1 + 84k + 48}{7} = \frac{49 + 84k}{7} = 7 + 12k$
Итак, общее решение уравнения в целых числах:
$x = 12k + 7$, $y = 7k + 4$.
Ответ: $x = 12k + 7, y = 7k + 4$, где $k$ — любое целое число.

32.22. а) $x + 2y^2 = 7$;

б) $x^2 + 2y = 1$;

В) $5x^2 + y = 17$;

Г) $7x - 3y^2 = 1$.

а) Решим уравнение $x + 2y^2 = 7$ в целых числах. Выразим переменную $x$ через $y$:$
$x = 7 - 2y^2$
По условию, $x$ и $y$ должны быть целыми числами. Если $y$ — любое целое число, то $y^2$ — целое неотрицательное число, и $2y^2$ — также целое неотрицательное число. Следовательно, $x = 7 - 2y^2$ всегда будет целым числом для любого целого $y$.
Это означает, что уравнение имеет бесконечное множество целочисленных решений. Общий вид этих решений можно записать, положив $y = k$, где $k$ — любое целое число. Тогда $x = 7 - 2k^2$.
Примеры решений:
При $k=0$, $y=0$, $x=7$. Пара $(7, 0)$.
При $k=1$, $y=1$, $x=5$. Пара $(5, 1)$.
При $k=-1$, $y=-1$, $x=5$. Пара $(5, -1)$.
При $k=2$, $y=2$, $x=-1$. Пара $(-1, 2)$.
Ответ: $(7 - 2k^2, k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) Решим уравнение $x^2 + 2y = 1$ в целых числах. Выразим переменную $y$ через $x$:$
$2y = 1 - x^2$
$y = \frac{1 - x^2}{2}$
Для того чтобы $y$ был целым числом, необходимо, чтобы числитель $1 - x^2$ был чётным числом, то есть делился на 2. Это возможно только в том случае, если $x^2$ является нечётным числом. Квадрат целого числа, $x^2$, является нечётным тогда и только тогда, когда само число $x$ является нечётным.
Таким образом, $x$ может быть любым нечётным целым числом. Любое нечётное число можно представить в виде $x = 2k + 1$, где $k$ — любое целое число.
Подставим это выражение для $x$ в формулу для $y$:$
$y = \frac{1 - (2k + 1)^2}{2} = \frac{1 - (4k^2 + 4k + 1)}{2} = \frac{-4k^2 - 4k}{2} = -2k^2 - 2k = -2k(k+1)$.
Это выражение всегда даёт целое значение $y$ для любого целого $k$.
Примеры решений:
При $k=0$, $x=1$, $y=0$. Пара $(1, 0)$.
При $k=1$, $x=3$, $y=-4$. Пара $(3, -4)$.
При $k=-1$, $x=-1$, $y=0$. Пара $(-1, 0)$.
Ответ: $(2k + 1, -2k(k+1))$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) Решим уравнение $5x^2 + y = 17$ в целых числах. Выразим переменную $y$ через $x$:$
$y = 17 - 5x^2$
По условию, $x$ и $y$ должны быть целыми числами. Если $x$ — любое целое число, то $x^2$ — целое неотрицательное число, и $5x^2$ — также целое неотрицательное число. Следовательно, $y = 17 - 5x^2$ всегда будет целым числом для любого целого $x$.
Таким образом, уравнение имеет бесконечное множество целочисленных решений. Общий вид этих решений можно записать, положив $x = k$, где $k$ — любое целое число. Тогда $y = 17 - 5k^2$.
Примеры решений:
При $k=0$, $x=0$, $y=17$. Пара $(0, 17)$.
При $k=1$, $x=1$, $y=12$. Пара $(1, 12)$.
При $k=-1$, $x=-1$, $y=12$. Пара $(-1, 12)$.
При $k=2$, $x=2$, $y=-3$. Пара $(2, -3)$.
Ответ: $(k, 17 - 5k^2)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

г) Решим уравнение $7x - 3y^2 = 1$ в целых числах. Выразим переменную $x$ через $y$:$
$7x = 1 + 3y^2$
$x = \frac{1 + 3y^2}{7}$
Для того чтобы $x$ был целым числом, необходимо, чтобы выражение $1 + 3y^2$ делилось нацело на 7. Это условие можно записать в виде сравнения по модулю 7:
$1 + 3y^2 \equiv 0 \pmod{7}$
$3y^2 \equiv -1 \pmod{7}$
$3y^2 \equiv 6 \pmod{7}$
Поскольку 3 и 7 взаимно простые числа, мы можем разделить обе части сравнения на 3:
$y^2 \equiv 2 \pmod{7}$
Теперь проверим, какие остатки при делении на 7 может давать квадрат целого числа $y$.
$0^2 \equiv 0 \pmod{7}$
$1^2 \equiv 1 \pmod{7}$
$2^2 \equiv 4 \pmod{7}$
$3^2 = 9 \equiv 2 \pmod{7}$
$4^2 = 16 \equiv 2 \pmod{7}$
$5^2 = 25 \equiv 4 \pmod{7}$
$6^2 = 36 \equiv 1 \pmod{7}$
Сравнение $y^2 \equiv 2 \pmod{7}$ выполняется, если $y$ при делении на 7 даёт остаток 3 или 4. То есть, $y \equiv 3 \pmod{7}$ или $y \equiv 4 \pmod{7}$.
Это означает, что $y$ можно представить в виде $y = 7k + 3$ или $y = 7k + 4$ для любого целого $k$.
Рассмотрим оба случая:
1. Если $y = 7k + 3$, подставим в выражение для $x$:$
$x = \frac{1 + 3(7k + 3)^2}{7} = \frac{1 + 3(49k^2 + 42k + 9)}{7} = \frac{1 + 147k^2 + 126k + 27}{7} = \frac{147k^2 + 126k + 28}{7} = 21k^2 + 18k + 4$.
Для любого целого $k$ значение $x$ будет целым. Первая серия решений: $(21k^2 + 18k + 4, 7k + 3)$.
2. Если $y = 7k + 4$, подставим в выражение для $x$:$
$x = \frac{1 + 3(7k + 4)^2}{7} = \frac{1 + 3(49k^2 + 56k + 16)}{7} = \frac{1 + 147k^2 + 168k + 48}{7} = \frac{147k^2 + 168k + 49}{7} = 21k^2 + 24k + 7$.
Для любого целого $k$ значение $x$ будет целым. Вторая серия решений: $(21k^2 + 24k + 7, 7k + 4)$.
Ответ: Уравнение имеет две серии целочисленных решений: $(21k^2 + 18k + 4, 7k + 3)$ и $(21k^2 + 24k + 7, 7k + 4)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

32.23. a) $x^2 - 5xy + 6y^2 = 2$;

б) $x^2 + xy - 6y^2 = 5 - 5y$;

В) $x^2 - xy + 12y^2 = 12$;

Г) $x^2 - 2xy + 8y^2 = 6 - 2x + 2y$.

а) $x^2 - 5xy + 6y^2 = 2$

Данное уравнение можно рассматривать как квадратное относительно переменной $x$. Разложим левую часть уравнения на множители. Корни квадратного трехчлена $t^2 - 5yt + 6y^2 = 0$ относительно $t$ равны $t_1 = 2y$ и $t_2 = 3y$. Тогда левую часть можно записать в виде произведения:

$(x - 2y)(x - 3y) = 2$

Поскольку $x$ и $y$ должны быть целыми числами, выражения в скобках $(x-2y)$ и $(x-3y)$ также являются целыми числами. Их произведение равно 2. Следовательно, они могут быть только парами целых делителей числа 2. Рассмотрим все возможные случаи:

1) $\begin{cases} x - 2y = 1 \\ x - 3y = 2 \end{cases}$
Вычитая второе уравнение из первого, получаем: $(x-2y) - (x-3y) = 1-2$, откуда $y = -1$. Подставив $y = -1$ в первое уравнение, находим $x - 2(-1) = 1 \implies x+2=1 \implies x = -1$. Получаем решение $(-1, -1)$.

2) $\begin{cases} x - 2y = 2 \\ x - 3y = 1 \end{cases}$
Вычитая второе уравнение из первого, получаем: $(x-2y) - (x-3y) = 2-1$, откуда $y = 1$. Подставив $y = 1$ в первое уравнение, находим $x - 2(1) = 2 \implies x-2=2 \implies x = 4$. Получаем решение $(4, 1)$.

3) $\begin{cases} x - 2y = -1 \\ x - 3y = -2 \end{cases}$
Вычитая второе уравнение из первого, получаем: $(x-2y) - (x-3y) = -1-(-2)$, откуда $y = 1$. Подставив $y = 1$ в первое уравнение, находим $x - 2(1) = -1 \implies x-2=-1 \implies x = 1$. Получаем решение $(1, 1)$.

4) $\begin{cases} x - 2y = -2 \\ x - 3y = -1 \end{cases}$
Вычитая второе уравнение из первого, получаем: $(x-2y) - (x-3y) = -2-(-1)$, откуда $y = -1$. Подставив $y = -1$ в первое уравнение, находим $x - 2(-1) = -2 \implies x+2=-2 \implies x = -4$. Получаем решение $(-4, -1)$.

Ответ: $(-1, -1), (4, 1), (1, 1), (-4, -1)$.

б) $x^2 + xy - 6y^2 = 5 - 5y$

Перепишем уравнение, сгруппировав члены относительно $x$, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + y \cdot x + (5y - 6y^2 - 5) = 0$

Для того чтобы уравнение имело целые решения для $x$, его дискриминант $D_x$ должен быть полным квадратом целого числа. Найдем дискриминант:

$D_x = y^2 - 4 \cdot 1 \cdot (5y - 6y^2 - 5) = y^2 - 20y + 24y^2 + 20 = 25y^2 - 20y + 20$

Пусть $D_x = k^2$ для некоторого целого числа $k \ge 0$.

$25y^2 - 20y + 20 = k^2$

Преобразуем левую часть, выделив полный квадрат:

$(25y^2 - 20y + 4) + 16 = k^2$

$(5y - 2)^2 + 16 = k^2$

$k^2 - (5y - 2)^2 = 16$

Разложим левую часть по формуле разности квадратов:

$(k - (5y - 2))(k + (5y - 2)) = 16$

$(k - 5y + 2)(k + 5y - 2) = 16$

Оба множителя в левой части должны быть целыми числами. Обозначим их $A = k - 5y + 2$ и $B = k + 5y - 2$. Их произведение $AB = 16$. Заметим, что их разность $B - A = (k + 5y - 2) - (k - 5y + 2) = 10y - 4$ всегда является четным числом. Следовательно, множители $A$ и $B$ должны иметь одинаковую четность. Так как их произведение 16 (четное), то оба множителя должны быть четными.

Рассмотрим пары четных делителей числа 16: (2, 8), (4, 4), (-2, -8), а также обратные пары.

1) $\begin{cases} k - 5y + 2 = 2 \\ k + 5y - 2 = 8 \end{cases}$
Сложив уравнения, получим $2k = 10 \implies k = 5$. Вычитая из второго первое, получим $10y - 4 = 6 \implies 10y=10 \implies y=1$. Это возможное целое значение для $y$.

2) $\begin{cases} k - 5y + 2 = 4 \\ k + 5y - 2 = 4 \end{cases}$
Вычитая уравнения, получим $10y - 4 = 0 \implies 10y = 4 \implies y = 0.4$, что не является целым числом.

Другие пары делителей, такие как (8, 2) или отрицательные пары, приведут либо к нецелым значениям $y$, либо к тому же значению $y=1$. Например, для пары (-8, -2): $10y-4 = -2 - (-8) = 6 \implies 10y=10 \implies y=1$.

Единственное возможное целое значение для $y$ - это 1. Подставим $y=1$ в исходное уравнение:

$x^2 + x(1) - 6(1)^2 = 5 - 5(1)$

$x^2 + x - 6 = 0$

$(x+3)(x-2) = 0$

Отсюда получаем $x = -3$ или $x = 2$.

Таким образом, мы нашли две пары решений.

Ответ: $(2, 1), (-3, 1)$.

в) $x^2 - xy + 12y^2 = 12$

Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно $x$:

$x^2 - y \cdot x + (12y^2 - 12) = 0$

Чтобы $x$ был действительным числом, дискриминант $D_x$ должен быть неотрицательным.

$D_x = (-y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (12y^2 - 12) = y^2 - 48y^2 + 48 = 48 - 47y^2$

$D_x \ge 0 \implies 48 - 47y^2 \ge 0 \implies 47y^2 \le 48 \implies y^2 \le \frac{48}{47}$

Поскольку $y$ должен быть целым числом, $y^2$ может принимать только значения 0 и 1. Следовательно, возможные значения для $y$: $0, 1, -1$.

1) Если $y = 0$, уравнение принимает вид $x^2 = 12$. Здесь нет целых решений для $x$.

2) Если $y = 1$, уравнение принимает вид $x^2 - x + 12 = 12$, что упрощается до $x^2 - x = 0$, или $x(x-1)=0$. Отсюда $x=0$ или $x=1$. Получаем решения $(0, 1)$ и $(1, 1)$.

3) Если $y = -1$, уравнение принимает вид $x^2 - x(-1) + 12(-1)^2 = 12$, что упрощается до $x^2 + x = 0$, или $x(x+1)=0$. Отсюда $x=0$ или $x=-1$. Получаем решения $(0, -1)$ и $(-1, -1)$.

Ответ: $(0, 1), (1, 1), (0, -1), (-1, -1)$.

г) $x^2 - 2xy + 8y^2 = 6 - 2x + 2y$

Перенесем все члены в левую часть и сгруппируем их как квадратное уравнение относительно $x$:

$x^2 - 2xy + 2x + 8y^2 - 2y - 6 = 0$

$x^2 + (2 - 2y)x + (8y^2 - 2y - 6) = 0$

Для наличия целых решений по $x$, дискриминант $D_x$ должен быть полным квадратом.

$D_x = (2 - 2y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (8y^2 - 2y - 6) = 4(1 - y)^2 - 32y^2 + 8y + 24$

$D_x = 4(1 - 2y + y^2) - 32y^2 + 8y + 24 = 4 - 8y + 4y^2 - 32y^2 + 8y + 24 = 28 - 28y^2$

$D_x = 28(1 - y^2)$

Пусть $D_x = k^2$ для некоторого целого $k \ge 0$. Тогда $k^2 = 28(1 - y^2)$.

Так как $k^2 \ge 0$ и $28 > 0$, должно выполняться условие $1 - y^2 \ge 0$, то есть $y^2 \le 1$.

Поскольку $y$ - целое число, возможные значения для $y$: $0, 1, -1$.

1) Если $y=0$, $D_x = 28(1-0) = 28$. Это число не является полным квадратом, поэтому целых решений для $x$ нет.

2) Если $y=1$, $D_x = 28(1-1) = 0$. Это полный квадрат ($0^2$). Тогда решение для $x$ единственное:

$x = \frac{-(2-2y)}{2} = \frac{-(2-2(1))}{2} = \frac{0}{2} = 0$. Получаем решение $(0, 1)$.

3) Если $y=-1$, $D_x = 28(1-(-1)^2) = 28(1-1) = 0$. Это тоже полный квадрат. Решение для $x$:

$x = \frac{-(2-2y)}{2} = \frac{-(2-2(-1))}{2} = \frac{-(2+2)}{2} = -2$. Получаем решение $(-2, -1)$.

Проверим найденные решения в исходном уравнении.

Для $(0, 1)$: $0^2 - 2(0)(1) + 8(1)^2 = 8$ и $6 - 2(0) + 2(1) = 8$. Верно.

Для $(-2, -1)$: $(-2)^2 - 2(-2)(-1) + 8(-1)^2 = 4 - 4 + 8 = 8$ и $6 - 2(-2) + 2(-1) = 6 + 4 - 2 = 8$. Верно.

Ответ: $(0, 1), (-2, -1)$.