Номер 32.18, страница 205, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 32. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 32.18, страница 205.

32.18. a) $y = \sqrt{1 - x^2}$;

б) $y = -\sqrt{1 - (x - 1)^2}$;

В) $y + 2 = -\sqrt{1 - x^2}$;

Г) $|y| = -\sqrt{1 - x^2} + 3.$

а) Данное уравнение $y = \sqrt{1 - x^2}$. Найдем область определения функции: выражение под корнем должно быть неотрицательным, то есть $1 - x^2 \ge 0$. Это неравенство равносильно $x^2 \le 1$, что означает $-1 \le x \le 1$. По определению арифметического квадратного корня, область значений функции $y \ge 0$. Чтобы определить геометрический образ, возведем обе части уравнения в квадрат: $y^2 = (\sqrt{1 - x^2})^2$ $y^2 = 1 - x^2$ Перенесем $x^2$ в левую часть уравнения: $x^2 + y^2 = 1$ Это каноническое уравнение окружности с центром в начале координат, точке $(0, 0)$, и радиусом $r = \sqrt{1} = 1$. Учитывая ограничение $y \ge 0$, мы получаем только ту часть окружности, которая находится в верхней полуплоскости (над осью Ox, включая точки на самой оси).
Ответ: Верхняя полуокружность окружности $x^2 + y^2 = 1$ с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом 1.

б) Данное уравнение $y = -\sqrt{1 - (x - 1)^2}$. Найдем область определения: $1 - (x - 1)^2 \ge 0 \implies (x - 1)^2 \le 1$. Извлекая корень из обеих частей, получаем $|x - 1| \le 1$, что равносильно $-1 \le x - 1 \le 1$. Прибавив 1 ко всем частям, получаем $0 \le x \le 2$. Область значений: так как перед корнем стоит знак минус, $y \le 0$. Возведем обе части уравнения в квадрат: $y^2 = (-\sqrt{1 - (x - 1)^2})^2$ $y^2 = 1 - (x - 1)^2$ Перенесем $(x - 1)^2$ в левую часть: $(x - 1)^2 + y^2 = 1$ Это уравнение окружности со смещенным центром. Центр окружности находится в точке $(1, 0)$, а радиус равен $r = 1$. Учитывая ограничение $y \le 0$, мы получаем только ту часть окружности, которая находится в нижней полуплоскости (под осью Ox, включая точки на самой оси).
Ответ: Нижняя полуокружность окружности $(x - 1)^2 + y^2 = 1$ с центром в точке $(1, 0)$ и радиусом 1.

в) Данное уравнение $y + 2 = -\sqrt{1 - x^2}$. Найдем область определения: $1 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 1 \implies -1 \le x \le 1$. Из вида уравнения следует, что $y + 2 \le 0$, то есть $y \le -2$. Преобразуем уравнение, возведя обе части в квадрат: $(y + 2)^2 = (-\sqrt{1 - x^2})^2$ $(y + 2)^2 = 1 - x^2$ Перенесем $x^2$ в левую часть: $x^2 + (y + 2)^2 = 1$ Это уравнение окружности с центром в точке $(0, -2)$ и радиусом $r = 1$. Условие $y \le -2$ означает, что мы рассматриваем только ту часть окружности, которая лежит не выше горизонтальной прямой $y = -2$. Это соответствует нижней полуокружности.
Ответ: Нижняя полуокружность окружности $x^2 + (y + 2)^2 = 1$ с центром в точке $(0, -2)$ и радиусом 1.

г) Дано уравнение $|y| = -\sqrt{1 - x^2} + 3$. Область определения: $1 - x^2 \ge 0 \implies -1 \le x \le 1$. Рассмотрим правую часть уравнения: $3 - \sqrt{1 - x^2}$. Так как $0 \le \sqrt{1 - x^2} \le 1$ для $x \in [-1, 1]$, то $2 \le 3 - \sqrt{1 - x^2} \le 3$. Правая часть уравнения всегда положительна. Уравнение $|y| = f(x)$ равносильно совокупности двух уравнений: $y = f(x)$ или $y = -f(x)$. 1. Рассмотрим случай $y = 3 - \sqrt{1 - x^2}$. Перенесем 3 в левую часть: $y - 3 = -\sqrt{1 - x^2}$. Возведем в квадрат: $(y - 3)^2 = 1 - x^2 \implies x^2 + (y - 3)^2 = 1$. Это окружность с центром в $(0, 3)$ и радиусом 1. Условие $y - 3 \le 0$ (т.к. равно отрицательному корню) означает, что $y \le 3$, что соответствует нижней полуокружности этой окружности. 2. Рассмотрим случай $y = -(3 - \sqrt{1 - x^2}) = \sqrt{1 - x^2} - 3$. Перенесем -3 в левую часть: $y + 3 = \sqrt{1 - x^2}$. Возведем в квадрат: $(y + 3)^2 = 1 - x^2 \implies x^2 + (y + 3)^2 = 1$. Это окружность с центром в $(0, -3)$ и радиусом 1. Условие $y + 3 \ge 0$ (т.к. равно положительному корню) означает, что $y \ge -3$, что соответствует верхней полуокружности этой окружности. Таким образом, итоговый график состоит из двух полуокружностей.
Ответ: Объединение двух фигур: нижней полуокружности окружности $x^2 + (y - 3)^2 = 1$ (с центром в $(0, 3)$ и радиусом 1) и верхней полуокружности окружности $x^2 + (y + 3)^2 = 1$ (с центром в $(0, -3)$ и радиусом 1).