Номер 32.12, страница 203, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 32. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 32.12, страница 203.

32.12. На рис. 10 изображён график уравнения $f(x; y) = 0$, имеющий вид четырёхугольника, вершины которого — точки с целочисленными координатами. Постройте график уравнения:

а) $f(|x|; y) = 0$;

б) $f(x; |y|) = 0$;

в) $f(|x|; |y|) = 0$;

г) $f(y; |x|) = 0$.

Рис. 10

Исходный график, заданный уравнением $f(x; y) = 0$, представляет собой четырехугольник с вершинами в точках с целочисленными координатами. Определим координаты этих вершин из рисунка: $A(1, 2)$, $B(4, -2)$, $C(1, -3)$ и $D(-3, -1)$.

Для построения требуемых графиков будем использовать правила преобразования графиков функций.

а) $f(|x|; y) = 0$

Чтобы построить график уравнения $f(|x|; y) = 0$, необходимо выполнить следующие действия:

1. Сохранить часть исходного графика, которая находится в правой полуплоскости и на оси $y$ (где $x \ge 0$).
2. Удалить часть исходного графика, которая находится в левой полуплоскости (где $x < 0$).
3. Отразить сохраненную часть графика симметрично относительно оси $y$.

Часть исходного графика при $x \ge 0$ — это ломаная, проходящая через вершины $A(1, 2)$, $B(4, -2)$ и $C(1, -3)$. Эта ломаная соединена с осью $y$ отрезками исходного четырехугольника. Найдем точки пересечения с осью $y$:

• Отрезок $AD$ с концами в $A(1, 2)$ и $D(-3, -1)$ пересекает ось $y$ в точке $(0; 1.25)$.
• Отрезок $CD$ с концами в $C(1, -3)$ и $D(-3, -1)$ пересекает ось $y$ в точке $(0; -2.5)$.

Таким образом, мы сохраняем фигуру, ограниченную точками $(0; 1.25)$, $A(1, 2)$, $B(4, -2)$, $C(1, -3)$ и $(0; -2.5)$. Отражая эту фигуру относительно оси $y$, мы получаем симметричную ей фигуру с новыми вершинами $A'(-1, 2)$, $B'(-4, -2)$ и $C'(-1, -3)$. Объединение этих двух фигур образует новый график.

Ответ: Итоговый график — это шестиугольник с вершинами в точках $(1, 2)$, $(4, -2)$, $(1, -3)$, $(-1, -3)$, $(-4, -2)$, $(-1, 2)$.

б) $f(x; |y|) = 0$

Построение графика $f(x; |y|) = 0$ аналогично предыдущему пункту, но симметрия выполняется относительно оси $x$:

1. Сохранить часть исходного графика, которая находится в верхней полуплоскости и на оси $x$ (где $y \ge 0$).
2. Удалить часть исходного графика, которая находится в нижней полуплоскости (где $y < 0$).
3. Отразить сохраненную часть графика симметрично относительно оси $x$.

Часть исходного графика при $y \ge 0$ — это ломаная с вершиной $A(1, 2)$, которая соединяет точки пересечения с осью $x$. Найдем эти точки:

• Отрезок $AB$ с концами в $A(1, 2)$ и $B(4, -2)$ пересекает ось $x$ в точке $(2.5; 0)$.
• Отрезок $AD$ с концами в $A(1, 2)$ и $D(-3, -1)$ пересекает ось $x$ в точке $(-5/3; 0)$.

Мы сохраняем ломаную, проходящую через точки $(-5/3; 0)$, $A(1, 2)$ и $(2.5; 0)$. Отражая ее симметрично относительно оси $x$, получаем новую вершину $A'(1, -2)$.

Ответ: Итоговый график — это четырехугольник (дельтоид) с вершинами в точках $(1, 2)$, $(2.5, 0)$, $(1, -2)$ и $(-5/3, 0)$ (приблизительно $(-1.67, 0)$).

в) $f(|x|; |y|) = 0$

Для построения графика $f(|x|; |y|) = 0$ используется комбинация предыдущих преобразований:

1. Сохранить часть исходного графика, которая находится в первой координатной четверти (где $x \ge 0$ и $y \ge 0$).
2. Отразить эту часть симметрично относительно оси $x$, оси $y$ и начала координат, чтобы заполнить все четыре четверти.

Часть исходного графика в первой четверти — это ломаная, соединяющая точку $A(1, 2)$ с точкой пересечения оси $y$ $(0; 1.25)$ и точкой пересечения оси $x$ $(2.5; 0)$.

Выполняя симметричные отражения этой ломаной, мы получаем замкнутую фигуру, симметричную относительно обеих координатных осей.

Ответ: Итоговый график — это шестиугольник с вершинами в точках $(2.5, 0)$, $(1, 2)$, $(-1, 2)$, $(-2.5, 0)$, $(-1, -2)$, $(1, -2)$.

г) $f(y; |x|) = 0$

Построение этого графика можно выполнить в два шага:

1. Сначала построим график вспомогательного уравнения $g(x, y) = f(y, x) = 0$. Этот график получается из исходного графика $f(x, y) = 0$ симметричным отражением относительно прямой $y = x$. Вершины исходного четырехугольника $A(1, 2)$, $B(4, -2)$, $C(1, -3)$, $D(-3, -1)$ перейдут в вершины $A_1(2, 1)$, $B_1(-2, 4)$, $C_1(-3, 1)$, $D_1(-1, -3)$.
2. Затем к графику $g(x, y) = 0$ применим преобразование из пункта (а), чтобы получить график $g(|x|, y) = f(y, |x|) = 0$. Для этого берем часть графика $g(x, y) = 0$ при $x \ge 0$ и отражаем ее симметрично относительно оси $y$.

Часть графика $g(x, y) = 0$ при $x \ge 0$ — это ломаная с вершиной $A_1(2, 1)$, концы которой лежат на оси $y$. Найдем точки пересечения с осью $y$:

• Отрезок $A_1B_1$ с концами в $A_1(2, 1)$ и $B_1(-2, 4)$ пересекает ось $y$ в точке $(0; 2.5)$.
• Отрезок $A_1D_1$ с концами в $A_1(2, 1)$ и $D_1(-1, -3)$ пересекает ось $y$ в точке $(0; -5/3)$.

Мы сохраняем ломаную, проходящую через точки $(0; 2.5)$, $A_1(2, 1)$ и $(0; -5/3)$. Отражая ее симметрично относительно оси $y$, получаем новую вершину $A_1'(-2, 1)$.

Ответ: Итоговый график — это четырехугольник (дельтоид) с вершинами в точках $(2, 1)$, $(0, 2.5)$, $(-2, 1)$ и $(0, -5/3)$ (приблизительно $(0, -1.67)$).