Номер 32.5, страница 203, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 32. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 32.5, страница 203.

32.5. a) $|x| - (x + y) = 0;$

б) $5|x| - |x + y| = 0;$

В) $|y + 1| - (x - y) = 0;$

Г) $|y| - |x| - 2x - 3y - 4 = 0.$

а) Исходное уравнение: $|x| - (x + y) = 0$.

Перепишем уравнение, выразив $y$: $y = |x| - x$. Для нахождения множества решений необходимо рассмотреть два случая, раскрывая модуль.

1. Если $x \ge 0$, то по определению модуля $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$y = x - x$
$y = 0$
Это луч, который совпадает с неотрицательной частью оси абсцисс.

2. Если $x < 0$, то по определению модуля $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$y = -x - x$
$y = -2x$
Это луч прямой $y = -2x$, который расположен во второй координатной четверти.

Объединив решения для обоих случаев, мы получаем график, состоящий из двух лучей, которые выходят из начала координат $(0, 0)$.

Ответ: Графиком уравнения является объединение двух лучей, исходящих из точки $(0,0)$: луч $y = 0$ для $x \ge 0$ и луч $y = -2x$ для $x < 0$.

б) Исходное уравнение: $5|x| - |x + y| = 0$.

Перепишем уравнение в виде $|x + y| = 5|x|$. Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
$x + y = 5|x|$
или
$x + y = -5|x|$.

Рассмотрим каждое уравнение отдельно, раскрывая модуль $|x|$.

1. Для уравнения $y = 5|x| - x$:
- Если $x \ge 0$, то $|x| = x$, и $y = 5x - x = 4x$.
- Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и $y = 5(-x) - x = -6x$.

2. Для уравнения $y = -5|x| - x$:
- Если $x \ge 0$, то $|x| = x$, и $y = -5x - x = -6x$.
- Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и $y = -5(-x) - x = 4x$.

Объединяя все полученные решения, мы видим, что при любом значении $x$ решением являются прямые $y = 4x$ и $y = -6x$.

Ответ: Графиком является объединение двух прямых, пересекающихся в начале координат: $y = 4x$ и $y = -6x$.

в) Исходное уравнение: $|y + 1| - (x - y) = 0$.

Перепишем уравнение, выразив $x$: $x = |y + 1| + y$. Для нахождения множества решений необходимо рассмотреть два случая, раскрывая модуль.

1. Если $y + 1 \ge 0$, то есть $y \ge -1$. В этом случае $|y + 1| = y + 1$. Уравнение принимает вид:
$x = (y + 1) + y$
$x = 2y + 1$
Это луч прямой $x = 2y + 1$ (или $y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$) для всех $y \ge -1$. Начальная точка луча — $(-1, -1)$.

2. Если $y + 1 < 0$, то есть $y < -1$. В этом случае $|y + 1| = -(y + 1)$. Уравнение принимает вид:
$x = -(y + 1) + y$
$x = -y - 1 + y$
$x = -1$
Это луч прямой $x = -1$ для всех $y < -1$.

Объединив решения для обоих случаев, мы получаем график, состоящий из двух лучей, которые выходят из общей точки $(-1, -1)$.

Ответ: Графиком является объединение двух лучей, исходящих из точки $(-1,-1)$: луч $x = -1$ для $y < -1$ и луч $x = 2y + 1$ для $y \ge -1$.

г) Исходное уравнение: $|y| - |x| - 2x - 3y - 4 = 0$.

Для решения этого уравнения необходимо рассмотреть четыре случая, раскрывая модули $|x|$ и $|y|$ в каждой из четырех координатных четвертей.

1. I четверть ($x \ge 0, y \ge 0$):
$y - x - 2x - 3y - 4 = 0 \implies -2y - 3x - 4 = 0 \implies y = -1.5x - 2$.
При $x \ge 0$, значение $y$ будет $y \le -2$, что противоречит условию $y \ge 0$. В этой области решений нет.

2. II четверть ($x < 0, y \ge 0$):
$y - (-x) - 2x - 3y - 4 = 0 \implies -2y - x - 4 = 0 \implies y = -0.5x - 2$.
Из условия $y \ge 0$ следует $-0.5x - 2 \ge 0$, что дает $x \le -4$. Решением является луч $y = -0.5x - 2$ при $x \le -4$.

3. III четверть ($x < 0, y < 0$):
$-y - (-x) - 2x - 3y - 4 = 0 \implies -4y - x - 4 = 0 \implies y = -0.25x - 1$.
Из условия $y < 0$ следует $-0.25x - 1 < 0$, что дает $x > -4$. С учетом $x < 0$, решением является отрезок $y = -0.25x - 1$ для $-4 < x < 0$.

4. IV четверть ($x \ge 0, y < 0$):
$-y - x - 2x - 3y - 4 = 0 \implies -4y - 3x - 4 = 0 \implies y = -0.75x - 1$.
Из условия $y < 0$ следует $-0.75x - 1 < 0$, что дает $x > -4/3$. С учетом $x \ge 0$, решением является луч $y = -0.75x - 1$ при $x \ge 0$.

Соединяя все части, включая граничные точки $(-4, 0)$ и $(0, -1)$, получаем непрерывную ломаную линию.

Ответ: Графиком является ломаная линия, состоящая из луча $y = -0.5x - 2$ при $x \le -4$, отрезка $y = -0.25x - 1$ при $-4 \le x \le 0$ и луча $y = -0.75x - 1$ при $x \ge 0$.