Номер 31.25, страница 202, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 31. Доказательство неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 31.25, страница 202.

31.25. С помощью производной докажите неравенство:

а) $\sin x - x < 0$ при всех $x \in (0; +\infty)$;

б) $\text{tg } x - x > 0$ при всех $x \in \left(0; \frac{\pi}{2}\right)$.

а) Чтобы доказать неравенство $\sin x - x < 0$ при всех $x \in (0; +\infty)$, рассмотрим функцию $f(x) = \sin x - x$.

Область определения этой функции — все действительные числа. Наша задача — исследовать поведение функции на промежутке $(0; +\infty)$.

Для этого найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\sin x - x)' = \cos x - 1$.

Известно, что значение косинуса для любого аргумента не превышает 1, то есть $\cos x \le 1$. Следовательно, производная $f'(x) = \cos x - 1 \le 0$ при всех значениях $x$.

Равенство $f'(x) = 0$ достигается только в точках, где $\cos x = 1$, то есть при $x = 2\pi k$, где $k$ — целое число. На промежутке $(0; +\infty)$ это отдельные точки ($2\pi, 4\pi, \dots$). Поскольку производная не равна нулю тождественно ни на каком интервале из рассматриваемой области, а только в изолированных точках, и при этом $f'(x) \le 0$, функция $f(x)$ является строго убывающей на всем промежутке $[0; +\infty)$.

Найдем значение функции в начальной точке промежутка, при $x=0$:

$f(0) = \sin 0 - 0 = 0$.

Так как функция $f(x)$ строго убывает на $[0; +\infty)$, то для любого $x > 0$ значение функции будет меньше, чем ее значение в точке 0:

$f(x) < f(0)$ при $x \in (0; +\infty)$.

Подставив выражения для $f(x)$ и $f(0)$, получаем:

$\sin x - x < 0$ при всех $x \in (0; +\infty)$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

б) Чтобы доказать неравенство $\tg x - x > 0$ при всех $x \in [0; \frac{\pi}{2})$, рассмотрим функцию $g(x) = \tg x - x$.

Область определения этой функции на заданном промежутке — $[0; \frac{\pi}{2})$.

Проверим значение функции на границе интервала. При $x=0$:

$g(0) = \tg 0 - 0 = 0$.

В этой точке неравенство не является строгим, так как левая часть равна нулю. Докажем, что для всех остальных точек из промежутка, то есть для $x \in (0; \frac{\pi}{2})$, неравенство является строгим.

Найдем производную функции $g(x)$:

$g'(x) = (\tg x - x)' = \frac{1}{\cos^2 x} - 1$.

На интервале $(0; \frac{\pi}{2})$ значение косинуса находится в пределах $0 < \cos x < 1$.

Следовательно, для квадрата косинуса выполняется $0 < \cos^2 x < 1$.

Отсюда следует, что обратная величина $\frac{1}{\cos^2 x} > 1$.

Тогда производная $g'(x) = \frac{1}{\cos^2 x} - 1 > 0$ для всех $x \in (0; \frac{\pi}{2})$.

Поскольку производная функции положительна на всем интервале $(0; \frac{\pi}{2})$, функция $g(x)$ является строго возрастающей на промежутке $[0; \frac{\pi}{2})$.

Мы уже вычислили, что $g(0) = 0$. Так как функция строго возрастает, для любого $x$ из интервала $(0; \frac{\pi}{2})$ значение функции будет больше, чем ее значение в точке 0:

$g(x) > g(0)$ при $x \in (0; \frac{\pi}{2})$.

Подставив выражения для $g(x)$ и $g(0)$, получаем:

$\tg x - x > 0$ при всех $x \in (0; \frac{\pi}{2})$.

Таким образом, для $x=0$ выражение равно 0, а для всех $x \in (0; \frac{\pi}{2})$ оно строго больше нуля. Это доказывает утверждение (с уточнением, что при $x=0$ имеет место равенство).

Ответ: Неравенство доказано.