Номер 31.20, страница 201, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 31. Доказательство неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 31.20, страница 201.

31.20. a) Докажите, что $\operatorname{tg} A \operatorname{tg} B < 1$, если $A, B$ — острые углы тупоугольного треугольника.

б) Докажите, что $\operatorname{tg} A \operatorname{tg} B > 1$, если $A, B$ — углы остроугольного треугольника.

а)

Пусть $A, B, C$ — углы треугольника. По условию, треугольник тупоугольный, а углы $A$ и $B$ — острые. Это означает, что третий угол, $C$, является тупым, то есть $C > 90^\circ$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$:

$A + B + C = 180^\circ$

Выразим сумму углов $A$ и $B$:

$A + B = 180^\circ - C$

Так как по условию $C > 90^\circ$, то $-C < -90^\circ$. Прибавим $180^\circ$ к обеим частям этого неравенства:

$180^\circ - C < 180^\circ - 90^\circ$

Следовательно:

$A + B < 90^\circ$

Поскольку углы $A$ и $B$ острые, то $A \in (0, 90^\circ)$ и $B \in (0, 90^\circ)$. Это значит, что их тангенсы положительны: $\text{tg} A > 0$ и $\text{tg} B > 0$.

Рассмотрим известную тригонометрическую формулу для углов треугольника (при условии, что ни один из углов не равен $90^\circ$):

$\text{tg}(A+B) = \frac{\text{tg} A + \text{tg} B}{1 - \text{tg} A \text{tg} B}$

Также мы знаем, что $\text{tg}(A+B) = \text{tg}(180^\circ - C) = -\text{tg} C$.

Приравняем правые части:

$\frac{\text{tg} A + \text{tg} B}{1 - \text{tg} A \text{tg} B} = -\text{tg} C$

Проанализируем знаки в этом равенстве.

• Числитель левой части, $\text{tg} A + \text{tg} B$, является суммой двух положительных чисел, следовательно, он положителен.
• Угол $C$ тупой ($90^\circ < C < 180^\circ$), поэтому его тангенс отрицателен: $\text{tg} C < 0$. Значит, правая часть равенства, $-\text{tg} C$, положительна.

Для того чтобы дробь в левой части была положительной при положительном числителе, её знаменатель также должен быть положителен:

$1 - \text{tg} A \text{tg} B > 0$

Из этого неравенства напрямую следует, что:

$\text{tg} A \text{tg} B < 1$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

б)

Пусть $A, B, C$ — углы треугольника. По условию, треугольник остроугольный. Это означает, что все три его угла являются острыми: $A < 90^\circ$, $B < 90^\circ$ и $C < 90^\circ$.

Сумма углов треугольника: $A + B + C = 180^\circ$.

Выразим сумму $A + B$:

$A + B = 180^\circ - C$

Так как $C < 90^\circ$, то $-C > -90^\circ$. Прибавим $180^\circ$ к обеим частям:

$180^\circ - C > 180^\circ - 90^\circ$

Следовательно:

$A + B > 90^\circ$

Поскольку $A$ и $B$ — острые углы, их тангенсы положительны: $\text{tg} A > 0$ и $\text{tg} B > 0$.

Снова воспользуемся формулой тангенса суммы:

$\text{tg}(A+B) = \frac{\text{tg} A + \text{tg} B}{1 - \text{tg} A \text{tg} B}$

Так как $A < 90^\circ$, $B < 90^\circ$ и $A+B > 90^\circ$, то сумма $A+B$ находится в интервале $(90^\circ, 180^\circ)$. Тангенс угла в этом интервале (во второй четверти) отрицателен:

$\text{tg}(A+B) < 0$

Следовательно, мы имеем неравенство:

$\frac{\text{tg} A + \text{tg} B}{1 - \text{tg} A \text{tg} B} < 0$

Проанализируем знаки в этой дроби.

• Числитель, $\text{tg} A + \text{tg} B$, является суммой двух положительных чисел, а значит, он положителен.

Для того чтобы дробь была отрицательной при положительном числителе, её знаменатель должен быть отрицателен:

$1 - \text{tg} A \text{tg} B < 0$

Из этого неравенства следует, что:

$\text{tg} A \text{tg} B > 1$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.