Номер 31.23, страница 201, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 31. Доказательство неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 31.23, страница 201.

Докажите неравенство, воспользовавшись методом математической индукции:

31.23. а) $2^n > n^2$, где $n \geq 5$;

б) $2^n > n^3$, где $n \geq 10$.

а) Докажем неравенство $2^n > n^2$ для всех натуральных чисел $n \ge 5$ методом математической индукции.

1. Базис индукции.
Проверим, выполняется ли неравенство для наименьшего возможного значения $n=5$. Подставляем в неравенство:
$2^5 > 5^2$
$32 > 25$
Неравенство верно. Базис индукции доказан.

2. Индукционное предположение.
Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа $k \ge 5$, то есть, что выполняется $2^k > k^2$.

3. Индукционный шаг.
Докажем, что из нашего предположения следует верность неравенства для следующего числа, $n = k+1$. То есть, докажем, что $2^{k+1} > (k+1)^2$.
Рассмотрим левую часть этого неравенства: $2^{k+1} = 2 \cdot 2^k$.
Согласно индукционному предположению, $2^k > k^2$. Умножив обе части на 2, получим:
$2 \cdot 2^k > 2k^2$, следовательно, $2^{k+1} > 2k^2$.
Теперь нам нужно доказать, что $2k^2 > (k+1)^2$ для $k \ge 5$.
$2k^2 > k^2 + 2k + 1 \Leftrightarrow k^2 - 2k - 1 > 0$.
Рассмотрим параболу $y = k^2 - 2k - 1$. Ее ветви направлены вверх. Найдем ее корни: $k_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{4-4(-1)}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.
Таким образом, неравенство $k^2 - 2k - 1 > 0$ выполняется при $k > 1 + \sqrt{2}$.
Так как $1 + \sqrt{2} \approx 2.414$, а мы рассматриваем $k \ge 5$, то неравенство $k^2 - 2k - 1 > 0$ для таких $k$ выполняется.
Итак, мы показали, что $2^{k+1} > 2k^2$ и $2k^2 > (k+1)^2$. Следовательно, по свойству транзитивности, $2^{k+1} > (k+1)^2$.
Индукционный шаг доказан. Поскольку базис индукции и индукционный шаг доказаны, по методу математической индукции неравенство $2^n > n^2$ верно для всех натуральных чисел $n \ge 5$.

Ответ: Доказано.

б) Докажем неравенство $2^n > n^3$ для всех натуральных чисел $n \ge 10$ методом математической индукции.

1. Базис индукции.
Проверим, выполняется ли неравенство для наименьшего возможного значения $n=10$. Подставляем:
$2^{10} > 10^3$
$1024 > 1000$
Неравенство верно. Базис индукции доказан.

2. Индукционное предположение.
Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа $k \ge 10$, то есть, $2^k > k^3$.

3. Индукционный шаг.
Докажем, что из этого предположения следует верность неравенства для $n = k+1$, то есть $2^{k+1} > (k+1)^3$.
Из индукционного предположения $2^k > k^3$ следует, что $2^{k+1} = 2 \cdot 2^k > 2k^3$.
Теперь докажем, что $2k^3 > (k+1)^3$ для $k \ge 10$.
Это неравенство равносильно неравенству $2 > \frac{(k+1)^3}{k^3}$ или $2 > \left(1 + \frac{1}{k}\right)^3$.
Раскроем правую часть по формуле куба суммы: $\left(1 + \frac{1}{k}\right)^3 = 1^3 + 3 \cdot 1^2 \cdot \frac{1}{k} + 3 \cdot 1 \cdot \left(\frac{1}{k}\right)^2 + \left(\frac{1}{k}\right)^3 = 1 + \frac{3}{k} + \frac{3}{k^2} + \frac{1}{k^3}$.
Нам нужно доказать, что $2 > 1 + \frac{3}{k} + \frac{3}{k^2} + \frac{1}{k^3}$, что равносильно $1 > \frac{3}{k} + \frac{3}{k^2} + \frac{1}{k^3}$.
Оценим правую часть для $k \ge 10$. Поскольку $k \ge 10$, то $\frac{1}{k} \le \frac{1}{10}$, $\frac{1}{k^2} \le \frac{1}{100}$ и $\frac{1}{k^3} \le \frac{1}{1000}$.
$\frac{3}{k} + \frac{3}{k^2} + \frac{1}{k^3} \le \frac{3}{10} + \frac{3}{100} + \frac{1}{1000} = 0.3 + 0.03 + 0.001 = 0.331$.
Так как $1 > 0.331$, то неравенство $1 > \frac{3}{k} + \frac{3}{k^2} + \frac{1}{k^3}$ верно для всех $k \ge 10$, а значит верно и $2k^3 > (k+1)^3$.
Мы получили цепочку неравенств: $2^{k+1} > 2k^3 > (k+1)^3$. Отсюда следует, что $2^{k+1} > (k+1)^3$.
Индукционный шаг доказан. Поскольку базис индукции и индукционный шаг доказаны, по методу математической индукции неравенство $2^n > n^3$ верно для всех натуральных чисел $n \ge 10$.

Ответ: Доказано.