Номер 31.17, страница 200, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 31. Доказательство неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 31.17, страница 200.

31.17. a) $\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{n^2} < 1 + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{(n-1)n}$;

б) $\frac{1^2}{1+1^4} + \frac{2^2}{1+2^4} + \frac{3^2}{1+3^4} + \dots + \frac{10^2}{1+10^4} < 1,9.$

а) Для доказательства неравенства $ \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{n^2} < 1 + \frac{1}{1 \cdot 2} + \dots + \frac{1}{(n-1)n} $ рассмотрим разность между его правой и левой частями.

Правая часть: $ R = 1 + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{(n-1)n} = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k(k+1)} $.

Левая часть: $ L = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{n^2} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2} $.

Разность $ R - L $: $ R - L = \left(1 + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k(k+1)}\right) - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2} $.

Заметим, что $ \frac{1}{1^2} = 1 $. Также представим сумму в правой части с другим индексом для удобства сравнения: $ \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k(k+1)} = \sum_{j=2}^{n} \frac{1}{(j-1)j} $. Используя $k$ в качестве индекса, получаем:

$ R - L = \left(1 + \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{(k-1)k}\right) - \left(\frac{1}{1^2} + \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^2}\right) = (1 - 1) + \sum_{k=2}^{n} \left(\frac{1}{(k-1)k} - \frac{1}{k^2}\right) $.

Таким образом, $ R - L = \sum_{k=2}^{n} \left(\frac{1}{k^2 - k} - \frac{1}{k^2}\right) $.

Рассмотрим выражение в скобках для любого $k \ge 2$:

$ \frac{1}{k^2 - k} - \frac{1}{k^2} = \frac{k^2 - (k^2 - k)}{(k^2 - k)k^2} = \frac{k}{k(k-1)k^2} = \frac{1}{k^2(k-1)} $.

Для любого целого $k \ge 2$ выражение $k-1$ положительно, и $k^2$ также положительно. Следовательно, каждое слагаемое $ \frac{1}{k^2(k-1)} $ в сумме является строго положительным числом.

Сумма положительных чисел также положительна, поэтому $ R - L = \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^2(k-1)} > 0 $.

Поскольку $R - L > 0$, то $R > L$, что и доказывает исходное неравенство.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Требуется доказать неравенство: $ \frac{1^2}{1+1^4} + \frac{2^2}{1+2^4} + \frac{3^2}{1+3^4} + \dots + \frac{10^2}{1+10^4} < 1,9 $.

Обозначим сумму в левой части как $S$: $ S = \sum_{k=1}^{10} \frac{k^2}{1+k^4} $.

Для доказательства мы оценим каждое слагаемое суммы сверху. Рассмотрим общий член ряда $ a_k = \frac{k^2}{1+k^4} $.

Для любого натурального $k \ge 1$ очевидно, что $1+k^4 > k^4$.

Поскольку обе части неравенства положительны, можно записать $ \frac{1}{1+k^4} < \frac{1}{k^4} $.

Домножим обе части на $k^2$ (которое положительно при $k \ge 1$): $ \frac{k^2}{1+k^4} < \frac{k^2}{k^4} = \frac{1}{k^2} $.

Это неравенство справедливо для каждого слагаемого в сумме $S$. Следовательно, вся сумма $S$ меньше суммы полученных верхних оценок:

$ S = \sum_{k=1}^{10} \frac{k^2}{1+k^4} < \sum_{k=1}^{10} \frac{1}{k^2} $.

Теперь оценим сверху сумму $ \sum_{k=1}^{10} \frac{1}{k^2} $. Для этого разобьем ее на первое слагаемое и остальную часть:

$ \sum_{k=1}^{10} \frac{1}{k^2} = \frac{1}{1^2} + \sum_{k=2}^{10} \frac{1}{k^2} = 1 + \sum_{k=2}^{10} \frac{1}{k^2} $.

Как было показано в пункте а), для любого $k \ge 2$ выполняется неравенство $\frac{1}{k^2} < \frac{1}{k(k-1)}$. Применим эту оценку к сумме:

$ \sum_{k=2}^{10} \frac{1}{k^2} < \sum_{k=2}^{10} \frac{1}{k(k-1)} $.

Сумма в правой части является телескопической, так как каждый ее член можно представить в виде разности: $ \frac{1}{k(k-1)} = \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k} $.

Вычислим эту сумму:

$ \sum_{k=2}^{10} \left(\frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}\right) = \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \dots + \left(\frac{1}{9} - \frac{1}{10}\right) = 1 - \frac{1}{10} = 0,9 $.

Таким образом, мы получили, что $ \sum_{k=2}^{10} \frac{1}{k^2} < 0,9 $.

Подставим эту оценку обратно:

$ \sum_{k=1}^{10} \frac{1}{k^2} = 1 + \sum_{k=2}^{10} \frac{1}{k^2} < 1 + 0,9 = 1,9 $.

Мы получили цепочку неравенств: $ S < \sum_{k=1}^{10} \frac{1}{k^2} $ и $ \sum_{k=1}^{10} \frac{1}{k^2} < 1,9 $. Из этого следует, что $ S < 1,9 $.

Ответ: Что и требовалось доказать.