Номер 31.11, страница 199, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 31. Доказательство неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 31.11, страница 199.

31.11. a) $(x^2 + y^2)(x^2y^2 + 1) \ge 4x^2y^2;$

б) $(a^4 + b^4)(a^4b^4 + 1)(a^2b^6 + a^6b^2) \ge 8a^8b^8.$

а) Докажем неравенство $(x^2 + y^2)(x^2y^2 + 1) \ge 4x^2y^2$.

Для доказательства воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши) для двух неотрицательных чисел $p$ и $q$, которое гласит: $p + q \ge 2\sqrt{pq}$.

Заметим, что $x^2$, $y^2$ и $x^2y^2$ являются неотрицательными величинами для любых действительных чисел $x$ и $y$.

Применим неравенство Коши к первому сомножителю в левой части исходного неравенства, взяв $p = x^2$ и $q = y^2$:

$x^2 + y^2 \ge 2\sqrt{x^2 \cdot y^2} = 2\sqrt{(xy)^2} = 2|xy|$.

Теперь применим неравенство Коши ко второму сомножителю, взяв $p = x^2y^2$ и $q = 1$:

$x^2y^2 + 1 \ge 2\sqrt{x^2y^2 \cdot 1} = 2\sqrt{(xy)^2} = 2|xy|$.

Поскольку обе части полученных неравенств ($x^2 + y^2 \ge 2|xy|$ и $x^2y^2 + 1 \ge 2|xy|$) неотрицательны, мы можем их перемножить:

$(x^2 + y^2)(x^2y^2 + 1) \ge (2|xy|) \cdot (2|xy|)$.

Упростим правую часть:

$(2|xy|)^2 = 4|xy|^2 = 4(xy)^2 = 4x^2y^2$.

Таким образом, мы получили, что $(x^2 + y^2)(x^2y^2 + 1) \ge 4x^2y^2$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

б) Докажем неравенство $(a^4 + b^4)(a^4b^4 + 1)(a^2b^6 + a^6b^2) \ge 8a^8b^8$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Если $a=0$ или $b=0$, то левая и правая части неравенства равны нулю. Неравенство $0 \ge 0$ является верным.

Случай 2: Пусть $a \ne 0$ и $b \ne 0$. Все сомножители в левой части положительны. Воспользуемся неравенством Коши ($p + q \ge 2\sqrt{pq}$ для $p,q \ge 0$) для каждого из трех сомножителей в левой части исходного неравенства.

1. Для первого сомножителя ($a^4 + b^4$):

$a^4 + b^4 \ge 2\sqrt{a^4b^4} = 2a^2b^2$.

2. Для второго сомножителя ($a^4b^4 + 1$):

$a^4b^4 + 1 \ge 2\sqrt{a^4b^4 \cdot 1} = 2a^2b^2$.

3. Для третьего сомножителя ($a^2b^6 + a^6b^2$):

$a^2b^6 + a^6b^2 \ge 2\sqrt{(a^2b^6)(a^6b^2)} = 2\sqrt{a^{2+6}b^{6+2}} = 2\sqrt{a^8b^8} = 2a^4b^4$.

Так как все части полученных неравенств положительны, мы можем их перемножить:

$(a^4 + b^4)(a^4b^4 + 1)(a^2b^6 + a^6b^2) \ge (2a^2b^2)(2a^2b^2)(2a^4b^4)$.

Упростим правую часть полученного неравенства:

$(2a^2b^2)(2a^2b^2)(2a^4b^4) = 8 \cdot a^{2+2+4} \cdot b^{2+2+4} = 8a^8b^8$.

Таким образом, мы доказали, что $(a^4 + b^4)(a^4b^4 + 1)(a^2b^6 + a^6b^2) \ge 8a^8b^8$.

Ответ: Неравенство доказано.