Номер 31.5, страница 199, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 31. Доказательство неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 31.5, страница 199.

31.5. a) $a = \sin (\cos 1)$, $b = \cos (\cos 1);$

б) $a = \cos (\sin 1)$, $b = \cos (\cos 1).$

а) Требуется сравнить числа $a = \sin(\cos 1)$ и $b = \cos(\cos 1)$.

Аргументы функций синуса и косинуса здесь выражены в радианах. Оценим величину аргумента $\cos 1$. Так как $0 < 1 < \frac{\pi}{2}$ (поскольку $\pi \approx 3.14$, то $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$), угол в 1 радиан находится в первой четверти. Для любого угла $x$ из первой четверти его косинус положителен и меньше 1. Таким образом, $0 < \cos 1 < 1$.

Пусть $x = \cos 1$. Нам нужно сравнить $\sin x$ и $\cos x$. Известно, что на интервале $(0, \frac{\pi}{2})$ знак разности $\cos x - \sin x$ зависит от сравнения $x$ с числом $\frac{\pi}{4}$.

• Если $0 < x < \frac{\pi}{4}$, то $\cos x > \sin x$.
• Если $x = \frac{\pi}{4}$, то $\cos x = \sin x$.
• Если $\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$, то $\cos x < \sin x$.

Сравним аргумент $x = \cos 1$ с числом $\frac{\pi}{4}$. Для этого сначала сравним 1 и $\frac{\pi}{4}$. $\pi \approx 3.14159$, значит $\frac{\pi}{4} \approx 0.785$. Очевидно, что $1 > \frac{\pi}{4}$. Функция $y = \cos t$ является убывающей на отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$. Так как $1$ и $\frac{\pi}{4}$ принадлежат этому отрезку и $1 > \frac{\pi}{4}$, то $\cos 1 < \cos(\frac{\pi}{4})$. Значение $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$. Итак, мы имеем $x = \cos 1 < \frac{\sqrt{2}}{2}$. Теперь сравним $x$ с $\frac{\pi}{4}$: $x = \cos 1 < \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$. $\frac{\pi}{4} \approx 0.785$. Следовательно, $x < \frac{\pi}{4}$. Так как наш аргумент $x = \cos 1$ удовлетворяет условию $0 < x < \frac{\pi}{4}$, то для него выполняется неравенство $\cos x > \sin x$. Подставляя обратно $x = \cos 1$, получаем: $\cos(\cos 1) > \sin(\cos 1)$, то есть $b > a$.
Ответ: $a < b$.

б) Требуется сравнить числа $a = \cos(\sin 1)$ и $b = \cos(\cos 1)$.

Мы сравниваем значения функции косинус в двух разных точках: $\sin 1$ и $\cos 1$. Рассмотрим функцию $y = \cos t$. Нам нужно определить, на каком промежутке лежат аргументы $\sin 1$ и $\cos 1$. Как было показано в пункте а), $0 < 1 < \frac{\pi}{2}$. На этом интервале и синус, и косинус положительны. Также $\sin 1 < \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ и $\cos 1 < \cos(0) = 1$. Следовательно, оба аргумента, $\sin 1$ и $\cos 1$, принадлежат интервалу $(0, 1)$.

Интервал $(0, 1)$ является частью интервала $(0, \frac{\pi}{2})$, на котором функция $y = \cos t$ строго убывает. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Таким образом, чтобы сравнить $a = \cos(\sin 1)$ и $b = \cos(\cos 1)$, нам нужно сравнить их аргументы: $\sin 1$ и $\cos 1$. Сравним 1 радиан с $\frac{\pi}{4}$ радиан. $\frac{\pi}{4} \approx 0.785$, поэтому $1 > \frac{\pi}{4}$. На интервале $(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$ значение синуса больше значения косинуса. Поскольку $1 \in (\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$, то $\sin 1 > \cos 1$.

Итак, мы имеем два аргумента $t_1 = \sin 1$ и $t_2 = \cos 1$, для которых выполняется неравенство $t_1 > t_2$. Поскольку функция $y = \cos t$ убывает на интервале $(0, 1)$, содержащем оба этих аргумента, из $t_1 > t_2$ следует, что $\cos(t_1) < \cos(t_2)$. Подставляя значения $t_1$ и $t_2$, получаем: $\cos(\sin 1) < \cos(\cos 1)$, то есть $a < b$.
Ответ: $a < b$.