Номер 31.4, страница 199, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 31. Доказательство неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 31.4, страница 199.

31.4. a) $a = \sin 1 \sin 2$, $b = \cos 1 \cos 2$;

б) $a = \cos 1 \sin 2$, $b = \sin 1 \cos 2$.

а) Сравним значения $a = \sin 1 \sin 2$ и $b = \cos 1 \cos 2$.

Для сравнения этих двух выражений рассмотрим их разность $b - a$:

$b - a = \cos 1 \cos 2 - \sin 1 \sin 2$

Мы видим, что это выражение соответствует формуле косинуса суммы двух углов:

$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$

В нашем случае $\alpha = 1$ и $\beta = 2$. Следовательно:

$b - a = \cos(1 + 2) = \cos 3$

Теперь нам нужно определить знак значения $\cos 3$. Аргументы тригонометрических функций даны в радианах. Вспомним, что $\pi \approx 3.14159$.

Определим, в какой четверти находится угол в 3 радиана:

$\frac{\pi}{2} \approx \frac{3.14159}{2} \approx 1.57$

Поскольку $\frac{\pi}{2} < 3 < \pi$, угол в 3 радиана находится во второй координатной четверти.

Косинус во второй четверти имеет отрицательное значение. Таким образом, $\cos 3 < 0$.

Из этого следует, что $b - a < 0$, что эквивалентно $b < a$.

Ответ: $a > b$.

---

б) Сравним значения $a = \cos 1 \sin 2$ и $b = \sin 1 \cos 2$.

Рассмотрим разность $a - b$:

$a - b = \cos 1 \sin 2 - \sin 1 \cos 2 = \sin 2 \cos 1 - \cos 2 \sin 1$

Это выражение соответствует формуле синуса разности двух углов:

$\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$

В нашем случае $\alpha = 2$ и $\beta = 1$. Следовательно:

$a - b = \sin(2 - 1) = \sin 1$

Теперь определим знак значения $\sin 1$. Угол в 1 радиан находится в первой координатной четверти, так как $0 < 1 < \frac{\pi}{2} \approx 1.57$.

Синус в первой четверти имеет положительное значение. Таким образом, $\sin 1 > 0$.

Из этого следует, что $a - b > 0$, что эквивалентно $a > b$.

Ответ: $a > b$.