Номер 31.7, страница 199, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 31. Доказательство неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 31.7, страница 199.

31.7. a) $a = \log_3 8$, $b = \log_2 7$;

б) $a = \log_{22} 4$, $b = \log_{33} 6$;

В) $a = \lg 995$, $b = \log_3 30$;

Г) $a = \log_{0.2} 7$, $b = \log_{0.3} 17$.

а) $a = \log_3 8, \quad b = \log_2 7$

Для сравнения чисел $a$ и $b$ используем метод сравнения с промежуточным значением. В данном случае удобно сравнить оба числа с 2.

Рассмотрим число $a = \log_3 8$. Представим 2 в виде логарифма с основанием 3: $2 = \log_3(3^2) = \log_3 9$.

Поскольку логарифмическая функция с основанием $3 > 1$ является возрастающей, а $8 < 9$, то $\log_3 8 < \log_3 9$. Следовательно, $a < 2$.

Рассмотрим число $b = \log_2 7$. Представим 2 в виде логарифма с основанием 2: $2 = \log_2(2^2) = \log_2 4$.

Поскольку логарифмическая функция с основанием $2 > 1$ является возрастающей, а $7 > 4$, то $\log_2 7 > \log_2 4$. Следовательно, $b > 2$.

Из неравенств $a < 2$ и $b > 2$ следует, что $a < b$.

Ответ: $a < b$.

б) $a = \log_{22} 4, \quad b = \log_{33} 6$

Для сравнения чисел $a$ и $b$ сравним каждое из них с числом $1/2$.

Рассмотрим число $a = \log_{22} 4$. Представим $1/2$ в виде логарифма с основанием 22: $1/2 = \log_{22}(22^{1/2}) = \log_{22}\sqrt{22}$.

Сравним числа $4$ и $\sqrt{22}$. Для этого сравним их квадраты: $4^2 = 16$ и $(\sqrt{22})^2 = 22$. Так как $16 < 22$, то $4 < \sqrt{22}$.

Поскольку основание логарифма $22 > 1$, функция является возрастающей, поэтому из $4 < \sqrt{22}$ следует, что $\log_{22} 4 < \log_{22}\sqrt{22}$. Таким образом, $a < 1/2$.

Рассмотрим число $b = \log_{33} 6$. Представим $1/2$ в виде логарифма с основанием 33: $1/2 = \log_{33}(33^{1/2}) = \log_{33}\sqrt{33}$.

Сравним числа $6$ и $\sqrt{33}$. Сравним их квадраты: $6^2 = 36$ и $(\sqrt{33})^2 = 33$. Так как $36 > 33$, то $6 > \sqrt{33}$.

Поскольку основание логарифма $33 > 1$, функция является возрастающей, поэтому из $6 > \sqrt{33}$ следует, что $\log_{33} 6 > \log_{33}\sqrt{33}$. Таким образом, $b > 1/2$.

Из неравенств $a < 1/2$ и $b > 1/2$ следует, что $a < b$.

Ответ: $a < b$.

в) $a = \lg 995, \quad b = \log_3 30$

Для сравнения чисел $a$ и $b$ сравним каждое из них с числом 3.

Рассмотрим число $a = \lg 995 = \log_{10} 995$. Представим 3 в виде десятичного логарифма: $3 = \log_{10}(10^3) = \log_{10} 1000$.

Поскольку основание логарифма $10 > 1$, функция является возрастающей. Так как $995 < 1000$, то $\log_{10} 995 < \log_{10} 1000$. Следовательно, $a < 3$.

Рассмотрим число $b = \log_3 30$. Представим 3 в виде логарифма с основанием 3: $3 = \log_3(3^3) = \log_3 27$.

Поскольку основание логарифма $3 > 1$, функция является возрастающей. Так как $30 > 27$, то $\log_3 30 > \log_3 27$. Следовательно, $b > 3$.

Из неравенств $a < 3$ и $b > 3$ следует, что $a < b$.

Ответ: $a < b$.

г) $a = \log_{0,2} 7, \quad b = \log_{0,3} 17$

Сначала определим знаки чисел $a$ и $b$. Логарифмическая функция $y = \log_c x$ с основанием $0 < c < 1$ отрицательна при $x > 1$.

Для $a = \log_{0,2} 7$, основание $0,2 \in (0, 1)$ и аргумент $7 > 1$, следовательно $a < 0$.

Для $b = \log_{0,3} 17$, основание $0,3 \in (0, 1)$ и аргумент $17 > 1$, следовательно $b < 0$.

Оба числа отрицательны. Чтобы сравнить их, сравним их модули. Чем больше модуль отрицательного числа, тем оно меньше.

Найдем модули: $|a| = |\log_{0,2} 7| = -\log_{0,2} 7 = \log_{1/0,2} 7 = \log_5 7$.

$|b| = |\log_{0,3} 17| = -\log_{0,3} 17 = \log_{1/0,3} 17 = \log_{10/3} 17$.

Теперь сравним $|a| = \log_5 7$ и $|b| = \log_{10/3} 17$ с числом 2.

Для $|a|$: $2 = \log_5(5^2) = \log_5 25$. Так как $7 < 25$ и основание $5 > 1$, то $\log_5 7 < \log_5 25$, то есть $|a| < 2$.

Для $|b|$: $2 = \log_{10/3}((10/3)^2) = \log_{10/3}(100/9)$. Сравним $17$ и $100/9$. $17 = 153/9$. Так как $153/9 > 100/9$, то $17 > 100/9$. Поскольку основание $10/3 > 1$, то $\log_{10/3} 17 > \log_{10/3}(100/9)$, то есть $|b| > 2$.

Из неравенств $|a| < 2$ и $|b| > 2$ следует, что $|a| < |b|$.

Так как $a$ и $b$ - отрицательные числа, а $|a| < |b|$, то $a > b$.

Ответ: $a > b$.