Номер 31.3, страница 199, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 31. Доказательство неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 31.3, страница 199.

31.3. a) $a = 3^{369}$, $b = 5^{246}$.

б) $a = 5^{963}$, $b = 11^{642}$.

а) Для того чтобы сравнить числа $a = 3^{369}$ и $b = 5^{246}$, необходимо привести их к общему показателю степени. Для этого найдем наибольший общий делитель (НОД) показателей 369 и 246.
Разложим показатели на множители:
$369 = 3 \cdot 123$
$246 = 2 \cdot 123$
Наибольший общий делитель показателей равен 123.
Теперь представим каждое число в виде степени с показателем 123, используя свойство $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$:
$a = 3^{369} = 3^{3 \cdot 123} = (3^3)^{123} = 27^{123}$
$b = 5^{246} = 5^{2 \cdot 123} = (5^2)^{123} = 25^{123}$
Теперь сравним полученные выражения: $27^{123}$ и $25^{123}$. Так как показатели степеней у них одинаковы, достаточно сравнить их основания.
Поскольку $27 > 25$, то и $27^{123} > 25^{123}$.
Следовательно, $a > b$.
Ответ: $a > b$.

б) Для сравнения чисел $a = 5^{963}$ и $b = 11^{642}$ воспользуемся тем же методом — приведением к общему показателю степени. Найдем НОД для показателей 963 и 642.
Разложим показатели на множители:
$963 = 3 \cdot 321$
$642 = 2 \cdot 321$
Наибольший общий делитель равен 321.
Теперь представим числа $a$ и $b$ в виде степеней с показателем 321:
$a = 5^{963} = 5^{3 \cdot 321} = (5^3)^{321} = 125^{321}$
$b = 11^{642} = 11^{2 \cdot 321} = (11^2)^{321} = 121^{321}$
Теперь сравним $125^{321}$ и $121^{321}$. Так как показатели степеней равны, сравним основания.
Поскольку $125 > 121$, то $125^{321} > 121^{321}$.
Следовательно, $a > b$.
Ответ: $a > b$.