Номер 30.61, страница 198, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 30. Иррациональные уравнения и неравенства. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 30.61, страница 198.

30.61. Для каждого значения параметра a решите неравенство:

а) $\sqrt{x - a} < 1 - x;$

б) $\sqrt{x + 2} \ge x + 2a.$

а) $\sqrt{x-a} < 1-x$

Данное неравенство равносильно системе неравенств, так как корень не может быть меньше отрицательного числа, и обе части можно возвести в квадрат, только если они обе неотрицательны.

$$ \begin{cases} x - a \ge 0 & \text{(подкоренное выражение неотрицательно)} \\ 1 - x > 0 & \text{(правая часть строго положительна)} \\ x - a < (1 - x)^2 & \text{(возводим в квадрат обе части)} \end{cases} $$

Решим эту систему:

$$ \begin{cases} x \ge a \\ x < 1 \\ x - a < 1 - 2x + x^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge a \\ x < 1 \\ x^2 - 3x + (1+a) > 0 \end{cases} $$

Рассмотрим квадратное неравенство $x^2 - 3x + (1+a) > 0$. Найдем дискриминант соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 3x + (1+a) = 0$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (1+a) = 9 - 4 - 4a = 5 - 4a$.

Рассмотрим три случая в зависимости от знака дискриминанта.

1. Если $D < 0$, то есть $5 - 4a < 0 \implies a > \frac{5}{4}$.
В этом случае ветви параболы $y = x^2 - 3x + (1+a)$ направлены вверх, и парабола не пересекает ось абсцисс, значит, неравенство $x^2 - 3x + (1+a) > 0$ выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.
Система принимает вид: $$ \begin{cases} x \ge a \\ x < 1 \end{cases} $$ Так как мы рассматриваем случай $a > \frac{5}{4}$, а $\frac{5}{4} > 1$, то условие $a < 1$ не выполняется. Следовательно, интервал $[a, 1)$ является пустым множеством. Решений нет.

2. Если $D = 0$, то есть $5 - 4a = 0 \implies a = \frac{5}{4}$.
Уравнение имеет один корень $x = \frac{3}{2}$. Неравенство $x^2 - 3x + (1+\frac{5}{4}) > 0$ принимает вид $(x - \frac{3}{2})^2 > 0$, что верно для всех $x \neq \frac{3}{2}$.
Система принимает вид: $$ \begin{cases} x \ge \frac{5}{4} \\ x < 1 \\ x \neq \frac{3}{2} \end{cases} $$ Так как $\frac{5}{4} > 1$, система не имеет решений.

3. Если $D > 0$, то есть $5 - 4a > 0 \implies a < \frac{5}{4}$.
Квадратное уравнение имеет два корня: $x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{5-4a}}{2}$.
Решением неравенства $x^2 - 3x + (1+a) > 0$ является объединение интервалов $(-\infty, x_1) \cup (x_2, \infty)$, где $x_1 = \frac{3 - \sqrt{5-4a}}{2}$ и $x_2 = \frac{3 + \sqrt{5-4a}}{2}$.
Нам нужно найти пересечение множества $[a, 1)$ с множеством $(-\infty, x_1) \cup (x_2, \infty)$.
Сравним $1$ с корнями $x_1$ и $x_2$. $x_2 = \frac{3 + \sqrt{5-4a}}{2} > \frac{3+0}{2} = 1.5 > 1$. Значит, $x_2 > 1$. Сравним $x_1$ с $1$: $x_1 - 1 = \frac{3 - \sqrt{5-4a}}{2} - 1 = \frac{1 - \sqrt{5-4a}}{2}$.
Знак этой разности зависит от $1 - \sqrt{5-4a}$.
Если $a < 1$, то $5-4a > 1 \implies \sqrt{5-4a} > 1 \implies 1 - \sqrt{5-4a} < 0 \implies x_1 < 1$.
Если $a = 1$, то $x_1 = 1$.
Если $1 < a < \frac{5}{4}$, то $x_1 > 1$.
Теперь рассмотрим подслучаи:
• Если $a < 1$: имеем $a < x_1 < 1 < x_2$. Ищем пересечение $[a, 1)$ и $(-\infty, x_1) \cup (x_2, \infty)$. Пересечение с $(x_2, \infty)$ пусто. Пересечение $[a, 1)$ с $(-\infty, x_1)$ дает $[a, x_1)$. Итак, решение: $x \in [a, \frac{3 - \sqrt{5-4a}}{2})$.
• Если $a = 1$: система $x \ge 1$ и $x < 1$ несовместна. Решений нет.
• Если $1 < a < \frac{5}{4}$: имеем $1 < a < x_1 < x_2$. Интервал $[a, 1)$ является пустым множеством, так как $a>1$. Решений нет.

Объединяя все случаи, получаем:

Ответ: если $a < 1$, то $x \in [a, \frac{3 - \sqrt{5-4a}}{2})$; если $a \ge 1$, то решений нет.

б) $\sqrt{x+2} \ge x+2a$

Данное неравенство равносильно совокупности двух систем.

Система 1: правая часть отрицательна, а корень определен.
$$ \begin{cases} x+2a < 0 \\ x+2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < -2a \\ x \ge -2 \end{cases} $$ Эта система имеет решение $[-2, -2a)$ только если $-2 < -2a$, то есть $a < 1$. Если $a \ge 1$, система 1 не имеет решений.

Система 2: правая часть неотрицательна, и мы можем возвести обе части в квадрат.
$$ \begin{cases} x+2a \ge 0 \\ x+2 \ge (x+2a)^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -2a \\ x+2 \ge x^2 + 4ax + 4a^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -2a \\ x^2 + (4a-1)x + (4a^2-2) \le 0 \end{cases} $$

Рассмотрим квадратное неравенство $x^2 + (4a-1)x + (4a^2-2) \le 0$. Найдем дискриминант $D$ соответствующего уравнения:
$D = (4a-1)^2 - 4(4a^2-2) = 16a^2-8a+1 - 16a^2+8 = 9-8a$.
• Если $D < 0$, то есть $9-8a < 0 \implies a > \frac{9}{8}$. Квадратный трехчлен всегда положителен, и неравенство $x^2 + \dots \le 0$ не имеет решений. Система 2 не имеет решений.
• Если $D \ge 0$, то есть $a \le \frac{9}{8}$. Уравнение имеет корни $x_{1,2} = \frac{-(4a-1) \pm \sqrt{9-8a}}{2} = \frac{1-4a \pm \sqrt{9-8a}}{2}$.
Решением неравенства $x^2 + \dots \le 0$ является отрезок $[x_1, x_2]$, где $x_1 = \frac{1-4a - \sqrt{9-8a}}{2}$ и $x_2 = \frac{1-4a + \sqrt{9-8a}}{2}$.
Решение Системы 2 — это пересечение отрезка $[x_1, x_2]$ с лучом $[-2a, \infty)$.

Теперь объединим решения обеих систем, рассмотрев различные значения параметра $a$. Критические точки для $a$: $1$ и $\frac{9}{8}$.

1. Если $a \le 1$.
В этом случае $a < \frac{9}{8}$, поэтому $D > 0$ (при $a=1, D=1$; при $a<1, D>1$).
Решение Системы 1: $x \in [-2, -2a)$.
Для Системы 2 можно показать, что $-2a \in (x_1, x_2)$ при $a<1$ и $-2a=x_1$ при $a=1$. Пересечение $[x_1, x_2]$ и $[-2a, \infty)$ дает $[-2a, x_2]$.
Общее решение — это объединение решений Системы 1 и Системы 2: $[-2, -2a) \cup [-2a, x_2] = [-2, x_2]$. При $a=1$ решение Системы 1 пусто, а решение Системы 2 равно $[-2,-1]$. Формула $[-2, x_2]$ при $a=1$ дает $[-2, \frac{1-4+\sqrt{1}}{2}] = [-2, -1]$. Таким образом, при $a \le 1$, решение: $x \in [-2, \frac{1-4a + \sqrt{9-8a}}{2}]$.

2. Если $1 < a \le \frac{9}{8}$.
Система 1 не имеет решений, так как $a>1 \implies -2a < -2$. Решение есть только у Системы 2. Можно показать, что при $a>1$, $-2a < x_1$. Пересечение $[x_1, x_2]$ и $[-2a, \infty)$ дает $[x_1, x_2]$. • При $1 < a < \frac{9}{8}$, $D>0$ и решение: $x \in [\frac{1-4a - \sqrt{9-8a}}{2}, \frac{1-4a + \sqrt{9-8a}}{2}]$.
• При $a = \frac{9}{8}$, $D=0$, корни сливаются: $x_1=x_2 = \frac{1-4(9/8)}{2} = -7/4$. Решение: $x = -7/4$. Эти два подслучая можно объединить одной формулой.

3. Если $a > \frac{9}{8}$.
Система 1 не имеет решений ($a>1$). Система 2 не имеет решений ($D<0$). Следовательно, исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: если $a \le 1$, то $x \in [-2, \frac{1-4a + \sqrt{9-8a}}{2}]$;
если $1 < a \le \frac{9}{8}$, то $x \in [\frac{1-4a - \sqrt{9-8a}}{2}, \frac{1-4a + \sqrt{9-8a}}{2}]$;
если $a > \frac{9}{8}$, то решений нет.