Номер 30.58, страница 197, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 30. Иррациональные уравнения и неравенства. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 30.58, страница 197.

30.58. a) $\sqrt{x} + \sqrt{x+5} < 9 - x;$

б) $3\sqrt{x+2} + 5\sqrt{3x+10} > 30 - 2x;$

в) $\sqrt{-x} + \sqrt{7-x} \leq x+16;$

г) $\sqrt{2-x} + 3\sqrt{10-3x} \leq 2x+18.$

а) $\sqrt{x} + \sqrt{x+5} < 9 - x$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Выражения под корнем должны быть неотрицательными:
$x \ge 0$
$x+5 \ge 0 \implies x \ge -5$
Левая часть неравенства неотрицательна, поэтому для существования решений правая часть должна быть строго положительной:
$9 - x > 0 \implies x < 9$
Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \in [0, 9)$.

2. Решим неравенство. Рассмотрим функции в левой и правой частях неравенства.
Пусть $f(x) = \sqrt{x} + \sqrt{x+5}$. Эта функция является суммой двух возрастающих функций, следовательно, она строго возрастает на своей области определения.
Пусть $g(x) = 9 - x$. Эта функция является линейной с отрицательным коэффициентом, следовательно, она строго убывает.
Уравнение $f(x) = g(x)$ может иметь не более одного корня. Найдем этот корень подбором.
Проверим $x=4$ (входит в ОДЗ):
$f(4) = \sqrt{4} + \sqrt{4+5} = 2 + 3 = 5$
$g(4) = 9 - 4 = 5$
Поскольку $f(4) = g(4)$, $x=4$ является корнем уравнения.

3. Так как $f(x)$ возрастает, а $g(x)$ убывает, неравенство $f(x) < g(x)$ будет выполняться при $x < 4$.
С учетом ОДЗ $x \in [0, 9)$, получаем решение: $0 \le x < 4$.

Ответ: $x \in [0, 4)$.

б) $3\sqrt{x + 2} + 5\sqrt{3x + 10} > 30 - 2x$

1. Найдем ОДЗ.
$x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$
$3x+10 \ge 0 \implies x \ge -10/3$
Пересекая условия, получаем ОДЗ: $x \in [-2, \infty)$.

2. Рассмотрим функции $f(x) = 3\sqrt{x + 2} + 5\sqrt{3x + 10}$ и $g(x) = 30 - 2x$.
Функция $f(x)$ строго возрастает на ОДЗ как сумма возрастающих функций.
Функция $g(x)$ строго убывает.
Уравнение $f(x) = g(x)$ имеет не более одного корня. Найдем его подбором.
Проверим $x=2$ (входит в ОДЗ):
$f(2) = 3\sqrt{2+2} + 5\sqrt{3 \cdot 2 + 10} = 3\sqrt{4} + 5\sqrt{16} = 3 \cdot 2 + 5 \cdot 4 = 6 + 20 = 26$
$g(2) = 30 - 2 \cdot 2 = 30 - 4 = 26$
Значит, $x=2$ — корень уравнения.

3. Так как $f(x)$ возрастает, а $g(x)$ убывает, неравенство $f(x) > g(x)$ выполняется при $x > 2$.
Решение $x > 2$ полностью удовлетворяет ОДЗ $x \ge -2$.

Ответ: $x \in (2, +\infty)$.

в) $\sqrt{-x} + \sqrt{7-x} \le x + 16$

1. Найдем ОДЗ.
$-x \ge 0 \implies x \le 0$
$7-x \ge 0 \implies x \le 7$
Пересекая условия, получаем ОДЗ: $x \in (-\infty, 0]$.

2. Рассмотрим функции $f(x) = \sqrt{-x} + \sqrt{7-x}$ и $g(x) = x + 16$.
Производная $f'(x) = \frac{-1}{2\sqrt{-x}} + \frac{-1}{2\sqrt{7-x}} < 0$ на всей области определения (кроме $x=0$), значит, функция $f(x)$ строго убывает.
Функция $g(x)$ строго возрастает.
Уравнение $f(x) = g(x)$ имеет не более одного корня. Найдем его подбором.
Проверим $x=-9$ (входит в ОДЗ):
$f(-9) = \sqrt{-(-9)} + \sqrt{7-(-9)} = \sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$
$g(-9) = -9 + 16 = 7$
Значит, $x=-9$ — корень уравнения.

3. Так как $f(x)$ убывает, а $g(x)$ возрастает, неравенство $f(x) \le g(x)$ выполняется при $x \ge -9$.
С учетом ОДЗ $x \le 0$, получаем решение: $-9 \le x \le 0$.

Ответ: $x \in [-9, 0]$.

г) $\sqrt{2 - x} + 3\sqrt{10 - 3x} \le 2x + 18$

1. Найдем ОДЗ.
$2-x \ge 0 \implies x \le 2$
$10-3x \ge 0 \implies 3x \le 10 \implies x \le 10/3$
Пересекая условия, получаем ОДЗ: $x \in (-\infty, 2]$.

2. Рассмотрим функции $f(x) = \sqrt{2 - x} + 3\sqrt{10 - 3x}$ и $g(x) = 2x + 18$.
Функция $f(x)$ является суммой двух убывающих функций, следовательно, она строго убывает на ОДЗ.
Функция $g(x)$ строго возрастает.
Уравнение $f(x) = g(x)$ имеет не более одного корня. Найдем его подбором, проверяя целые числа, при которых выражения под корнями становятся полными квадратами.
Проверим $x=-2$ (входит в ОДЗ):
$f(-2) = \sqrt{2-(-2)} + 3\sqrt{10-3(-2)} = \sqrt{4} + 3\sqrt{16} = 2 + 3 \cdot 4 = 14$
$g(-2) = 2(-2) + 18 = -4 + 18 = 14$
Значит, $x=-2$ — корень уравнения.

3. Так как $f(x)$ убывает, а $g(x)$ возрастает, неравенство $f(x) \le g(x)$ выполняется при $x \ge -2$.
С учетом ОДЗ $x \le 2$, получаем итоговое решение: $-2 \le x \le 2$.

Ответ: $x \in [-2, 2]$.