Номер 30.56, страница 197, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 30. Иррациональные уравнения и неравенства. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 30.56, страница 197.

30.56. a) $\sqrt{-3x + 12} < 3x$;

б) $\sqrt{5 + 12 \cdot 5^x - 25^x} > 5^x - 7$;

в) $\sqrt{7 - 0.2^x} \le 0.2^x - 1$;

г) $5\sqrt{100^x - 2} \ge 4^{x+1} \cdot 25^x - 14$.

а)

Решим неравенство $\sqrt{-3^x + 12} < 3^x$. Это неравенство равносильно системе, так как корень не может быть меньше отрицательного числа, а при неотрицательной правой части можно возводить в квадрат:

$\begin{cases} -3^x + 12 \ge 0 & \text{(область определения корня)} \\ 3^x > 0 & \text{(правая часть должна быть положительной)} \\ -3^x + 12 < (3^x)^2 & \text{(возведение в квадрат обеих частей)} \end{cases}$

Второе неравенство, $3^x > 0$, выполняется для любого действительного $x$.

Сделаем замену $t = 3^x$. Учитывая, что $3^x > 0$, имеем $t > 0$. Система принимает вид:

$\begin{cases} 12 - t \ge 0 \\ 12 - t < t^2 \end{cases} \implies \begin{cases} t \le 12 \\ t^2 + t - 12 > 0 \end{cases}$

Решим квадратное неравенство $t^2 + t - 12 > 0$. Корни соответствующего уравнения $t^2 + t - 12 = 0$ по теореме Виета равны $t_1=-4$ и $t_2=3$. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $t \in (-\infty; -4) \cup (3; +\infty)$.

С учетом условий $t > 0$ и $t \le 12$, находим пересечение: $3 < t \le 12$.

Выполним обратную замену:

$3 < 3^x \le 12 \implies 3^1 < 3^x \le 12$

Так как функция $y = \log_3(z)$ возрастающая, логарифмируем неравенство по основанию 3:

$\log_3(3^1) < \log_3(3^x) \le \log_3(12)$

$1 < x \le \log_3(12)$

Ответ: $(1; \log_3(12)]$.

б)

Решим неравенство $\sqrt{5 + 12 \cdot 5^x - 25^x} > 5^x - 7$.

Неравенство вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$ равносильно совокупности двух систем:

1) $\begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases}$ (корень больше отрицательного числа, если он существует)

2) $\begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) > (g(x))^2 \end{cases}$ (обе части неотрицательны, можно возвести в квадрат)

Сделаем замену $t = 5^x$, где $t > 0$. Неравенство примет вид: $\sqrt{5 + 12t - t^2} > t - 7$.

Рассмотрим первую систему:

$\begin{cases} t - 7 < 0 \\ 5 + 12t - t^2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} t < 7 \\ t^2 - 12t - 5 \le 0 \end{cases}$

Корни уравнения $t^2 - 12t - 5 = 0$ равны $t = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4(-5)}}{2} = 6 \pm \sqrt{41}$.

Решение $t^2 - 12t - 5 \le 0$ есть $6 - \sqrt{41} \le t \le 6 + \sqrt{41}$.

Учитывая условия $t > 0$ и $t < 7$, получаем решение для первой системы: $0 < t < 7$.

Рассмотрим вторую систему:

$\begin{cases} t - 7 \ge 0 \\ 5 + 12t - t^2 > (t - 7)^2 \end{cases} \implies \begin{cases} t \ge 7 \\ 5 + 12t - t^2 > t^2 - 14t + 49 \end{cases}$

Решим второе неравенство: $2t^2 - 26t + 44 < 0 \implies t^2 - 13t + 22 < 0$. Корни уравнения $t^2 - 13t + 22 = 0$ равны $t_1 = 2, t_2 = 11$. Следовательно, $2 < t < 11$.

С учетом условия $t \ge 7$, решение для второй системы: $7 \le t < 11$.

Объединяя решения обеих систем ($0 < t < 7$ и $7 \le t < 11$), получаем общее решение для $t$: $0 < t < 11$.

Выполним обратную замену: $0 < 5^x < 11$. Левая часть $5^x > 0$ верна всегда.

$5^x < 11 \implies \log_5(5^x) < \log_5(11) \implies x < \log_5(11)$.

Ответ: $(-\infty; \log_5(11))$.

в)

Решим неравенство $\sqrt{7 - 0.2^x} \le 0.2^x - 1$.

Неравенство вида $\sqrt{f(x)} \le g(x)$ равносильно системе:

$\begin{cases} 7 - 0.2^x \ge 0 \\ 0.2^x - 1 \ge 0 \\ 7 - 0.2^x \le (0.2^x - 1)^2 \end{cases}$

Сделаем замену $t = 0.2^x$, где $t > 0$. Система примет вид:

$\begin{cases} 7 - t \ge 0 \\ t - 1 \ge 0 \\ 7 - t \le (t-1)^2 \end{cases} \implies \begin{cases} t \le 7 \\ t \ge 1 \\ 7 - t \le t^2 - 2t + 1 \end{cases} \implies \begin{cases} 1 \le t \le 7 \\ t^2 - t - 6 \ge 0 \end{cases}$

Решим $t^2 - t - 6 \ge 0$. Корни уравнения $t^2 - t - 6 = 0$ равны $t_1=-2$ и $t_2=3$. Неравенство выполняется при $t \in (-\infty; -2] \cup [3; +\infty)$.

Находим пересечение решений: $\begin{cases} 1 \le t \le 7 \\ t \in (-\infty; -2] \cup [3; +\infty) \end{cases}$. Получаем $3 \le t \le 7$.

Выполним обратную замену:

$3 \le 0.2^x \le 7$

Логарифмируем по основанию 0.2. Так как основание $0.2 < 1$, знаки неравенства меняются на противоположные:

$\log_{0.2}(3) \ge \log_{0.2}(0.2^x) \ge \log_{0.2}(7)$

$\log_{0.2}(3) \ge x \ge \log_{0.2}(7)$

Используя свойство логарифма $\log_{1/a} b = -\log_a b$, перепишем ответ: $0.2 = 1/5$.

$-\log_5(3) \ge x \ge -\log_5(7)$, что равносильно $-\log_5(7) \le x \le -\log_5(3)$.

Ответ: $[-\log_5(7); -\log_5(3)]$.

г)

Решим неравенство $5\sqrt{100^x - 2} \ge 4^{x+1} \cdot 25^x - 14$.

Преобразуем правую часть: $4^{x+1} \cdot 25^x = 4 \cdot 4^x \cdot 25^x = 4 \cdot (4 \cdot 25)^x = 4 \cdot 100^x$.

Неравенство принимает вид: $5\sqrt{100^x - 2} \ge 4 \cdot 100^x - 14$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $100^x - 2 \ge 0 \implies 100^x \ge 2$.

Сделаем замену $t = 100^x$, тогда по ОДЗ $t \ge 2$. Неравенство: $5\sqrt{t - 2} \ge 4t - 14$.

Рассмотрим два случая в зависимости от знака правой части:

1) Если $4t - 14 < 0 \implies t < 3.5$. С учетом ОДЗ ($t \ge 2$), левая часть $5\sqrt{t - 2}$ неотрицательна, а правая отрицательна, поэтому неравенство выполняется на всем промежутке $2 \le t < 3.5$.

2) Если $4t - 14 \ge 0 \implies t \ge 3.5$. Обе части неравенства неотрицательны, можно возвести в квадрат:

$(5\sqrt{t - 2})^2 \ge (4t - 14)^2$

$25(t - 2) \ge 16t^2 - 112t + 196$

$25t - 50 \ge 16t^2 - 112t + 196$

$0 \ge 16t^2 - 137t + 246$

Корни уравнения $16t^2 - 137t + 246 = 0$ равны $t_1 = \frac{137 - \sqrt{137^2 - 4 \cdot 16 \cdot 246}}{32} = \frac{137 - 55}{32} = \frac{82}{32} = \frac{41}{16}$ и $t_2 = \frac{137 + 55}{32} = \frac{192}{32} = 6$.

Решение квадратного неравенства $16t^2 - 137t + 246 \le 0$ есть $\frac{41}{16} \le t \le 6$.

С учетом условия этого случая ($t \ge 3.5$), и так как $3.5 = \frac{56}{16} > \frac{41}{16}$, получаем: $3.5 \le t \le 6$.

Объединяя решения обоих случаев, $t \in [2; 3.5) \cup [3.5; 6]$, получаем общее решение для $t$: $2 \le t \le 6$.

Выполним обратную замену:

$2 \le 100^x \le 6$

Логарифмируя по основанию 100 (которое больше 1), получаем:

$\log_{100}(2) \le x \le \log_{100}(6)$.

Ответ: $[\log_{100}(2); \log_{100}(6)]$.