Номер 30.49, страница 196, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 30. Иррациональные уравнения и неравенства. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 30.49, страница 196.

30.49. a) $\frac{\sqrt{17 - 15x - 2x^2}}{x + 3} > 0;$

б) $\frac{\sqrt{14 - 11x - 3x^2}}{x + 3} \leq 0;$

В) $\frac{\sqrt{10 - 7x + x^2}}{x - 1} > 0;$

Г) $\frac{\sqrt{12 + 8x + x^2}}{x + 5} \leq 0.$

а) Решим неравенство $\frac{\sqrt{17 - 15x - 2x^2}}{x + 3} > 0$.
Числитель дроби, $\sqrt{17 - 15x - 2x^2}$, является арифметическим квадратным корнем, поэтому он всегда неотрицателен (больше или равен нулю).
Поскольку неравенство строгое ($> 0$), то числитель не может быть равен нулю, то есть $\sqrt{17 - 15x - 2x^2} > 0$. Это, в свою очередь, означает, что подкоренное выражение должно быть строго больше нуля: $17 - 15x - 2x^2 > 0$.
Для того чтобы вся дробь была положительной, при положительном числителе знаменатель также должен быть положительным: $x + 3 > 0$.
Таким образом, исходное неравенство равносильно системе неравенств:
$ \begin{cases} 17 - 15x - 2x^2 > 0 \\ x + 3 > 0 \end{cases} $
Решим первое неравенство: $17 - 15x - 2x^2 > 0$. Умножим его на -1 и сменим знак неравенства: $2x^2 + 15x - 17 < 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $2x^2 + 15x - 17 = 0$.
Дискриминант $D = 15^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-17) = 225 + 136 = 361 = 19^2$.
Корни: $x_1 = \frac{-15 - 19}{2 \cdot 2} = \frac{-34}{4} = -8.5$; $x_2 = \frac{-15 + 19}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.
Так как ветви параболы $y = 2x^2 + 15x - 17$ направлены вверх, неравенство $2x^2 + 15x - 17 < 0$ выполняется между корнями, то есть при $x \in (-8.5, 1)$.
Решим второе неравенство системы: $x + 3 > 0 \implies x > -3$.
Найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \in (-8.5, 1)$ и $x > -3$. Пересечением является интервал $(-3, 1)$.
Ответ: $(-3, 1)$.

б) Решим неравенство $\frac{\sqrt{14 - 11x - 3x^2}}{x + 3} \le 0$.
Это неравенство выполняется в двух случаях:
1) Когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
$\sqrt{14 - 11x - 3x^2} = 0 \implies 14 - 11x - 3x^2 = 0$.
$3x^2 + 11x - 14 = 0$.
$D = 11^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-14) = 121 + 168 = 289 = 17^2$.
$x_1 = \frac{-11 - 17}{2 \cdot 3} = \frac{-28}{6} = -\frac{14}{3}$; $x_2 = \frac{-11 + 17}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$.
При этих значениях $x$ знаменатель $x+3$ не равен нулю, значит, $x = -14/3$ и $x = 1$ являются решениями.
2) Когда числитель строго положителен, а знаменатель строго отрицателен.
Это равносильно системе: $ \begin{cases} 14 - 11x - 3x^2 > 0 \\ x + 3 < 0 \end{cases} $
Решим первое неравенство: $14 - 11x - 3x^2 > 0 \implies 3x^2 + 11x - 14 < 0$.
Корни мы уже нашли: $x_1 = -14/3$ и $x_2 = 1$. Ветви параболы направлены вверх, значит, решение неравенства: $x \in (-14/3, 1)$.
Решим второе неравенство: $x + 3 < 0 \implies x < -3$.
Найдем пересечение решений: $x \in (-14/3, 1)$ и $x < -3$. Так как $-14/3 \approx -4.67$, пересечением является интервал $(-14/3, -3)$.
Объединим решения из обоих случаев: точки $x = -14/3$, $x=1$ и интервал $(-14/3, -3)$.
Получаем $[-14/3, -3) \cup \{1\}$.
Ответ: $[-\frac{14}{3}, -3) \cup \{1\}$.

в) Решим неравенство $\frac{\sqrt{10 - 7x + x^2}}{x - 1} > 0$.
По аналогии с пунктом а), числитель и знаменатель должны быть строго положительными.
Это равносильно системе: $ \begin{cases} 10 - 7x + x^2 > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases} $
Решим первое неравенство: $x^2 - 7x + 10 > 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 7x + 10 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$, $x_2 = 5$.
Ветви параболы $y = x^2 - 7x + 10$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями: $x \in (-\infty, 2) \cup (5, \infty)$.
Решим второе неравенство: $x - 1 > 0 \implies x > 1$.
Найдем пересечение множеств $(-\infty, 2) \cup (5, \infty)$ и $(1, \infty)$.
Пересечение $(-\infty, 2)$ с $(1, \infty)$ дает $(1, 2)$.
Пересечение $(5, \infty)$ с $(1, \infty)$ дает $(5, \infty)$.
Объединяя эти результаты, получаем итоговое решение.
Ответ: $(1, 2) \cup (5, \infty)$.

г) Решим неравенство $\frac{\sqrt{12 + 8x + x^2}}{x + 5} \le 0$.
По аналогии с пунктом б), неравенство выполняется в двух случаях:
1) Числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
$\sqrt{12 + 8x + x^2} = 0 \implies x^2 + 8x + 12 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = -6$, $x_2 = -2$.
Знаменатель $x+5$ не равен нулю при этих значениях $x$, поэтому $x = -6$ и $x = -2$ являются решениями.
2) Числитель строго положителен, а знаменатель строго отрицателен.
Это равносильно системе: $ \begin{cases} 12 + 8x + x^2 > 0 \\ x + 5 < 0 \end{cases} $
Решим первое неравенство: $x^2 + 8x + 12 > 0$.
Корни мы уже нашли: $x_1 = -6$ и $x_2 = -2$. Ветви параболы направлены вверх, значит, решение неравенства: $x \in (-\infty, -6) \cup (-2, \infty)$.
Решим второе неравенство: $x + 5 < 0 \implies x < -5$.
Найдем пересечение решений: $x \in ((-\infty, -6) \cup (-2, \infty))$ и $x < -5$.
Пересечением является интервал $(-\infty, -6)$.
Объединим решения из обоих случаев: точки $x = -6$, $x = -2$ и интервал $(-\infty, -6)$.
Получаем $(-\infty, -6] \cup \{-2\}$.
Ответ: $(-\infty, -6] \cup \{-2\}$.