Номер 30.48, страница 196, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 30. Иррациональные уравнения и неравенства. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 30.48, страница 196.

30.48. a) $ \sqrt{x^4 - 3x^2 + 4} < x^2 - 5;$

б) $ \sqrt{x^4 - 3x^2 + 4} > x^2 - 5.$

а)

Решим неравенство $\sqrt{x^4 - 3x^2 + 4} < x^2 - 5$.

Для того чтобы данное неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$ имело решение, необходимо выполнение системы условий: $$ \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) > 0 \\ f(x) < (g(x))^2 \end{cases} $$ Применим это к нашему неравенству: $$ \begin{cases} x^4 - 3x^2 + 4 \ge 0 \\ x^2 - 5 > 0 \\ x^4 - 3x^2 + 4 < (x^2 - 5)^2 \end{cases} $$

1. Проверим первое условие: $x^4 - 3x^2 + 4 \ge 0$. Сделаем замену переменной $t = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то и $t \ge 0$. Получим квадратное выражение $t^2 - 3t + 4$. Найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$. Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), а старший коэффициент положителен ($a=1 > 0$), то квадратный трехчлен $t^2 - 3t + 4$ всегда принимает положительные значения. Следовательно, неравенство $x^4 - 3x^2 + 4 \ge 0$ выполняется для любых действительных значений $x$.

2. Решим второе неравенство системы: $x^2 - 5 > 0$ $x^2 > 5$

3. Решим третье неравенство системы: $x^4 - 3x^2 + 4 < (x^2 - 5)^2$ $x^4 - 3x^2 + 4 < x^4 - 10x^2 + 25$ Перенесем все члены в одну сторону: $x^4 - 3x^2 + 4 - x^4 + 10x^2 - 25 < 0$ $7x^2 - 21 < 0$ $7x^2 < 21$ $x^2 < 3$

Теперь объединим результаты второго и третьего шагов в систему: $$ \begin{cases} x^2 > 5 \\ x^2 < 3 \end{cases} $$ Эта система не имеет решений, так как не существует такого числа, квадрат которого был бы одновременно больше 5 и меньше 3.

Ответ: нет решений.

б)

Решим неравенство $\sqrt{x^4 - 3x^2 + 4} > x^2 - 5$.

Неравенство вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$ равносильно совокупности двух систем: $$ \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases} \\ \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) > (g(x))^2 \end{cases} \end{array} \right. $$

Как было установлено в пункте а), выражение $f(x) = x^4 - 3x^2 + 4$ всегда положительно, поэтому условие $f(x) \ge 0$ выполняется для любого $x$.

Рассмотрим первую систему (случай 1): $$ \begin{cases} x^2 - 5 < 0 \\ x^4 - 3x^2 + 4 \ge 0 \end{cases} $$ $x^2 < 5 \implies -\sqrt{5} < x < \sqrt{5}$. Второе неравенство, как мы знаем, верно для всех $x$. Решение первой системы: $x \in (-\sqrt{5}, \sqrt{5})$.

Рассмотрим вторую систему (случай 2): $$ \begin{cases} x^2 - 5 \ge 0 \\ x^4 - 3x^2 + 4 > (x^2 - 5)^2 \end{cases} $$ Решим первое неравенство: $x^2 \ge 5 \implies x \in (-\infty, -\sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}, \infty)$.

Решим второе неравенство (аналогично пункту а)): $x^4 - 3x^2 + 4 > x^4 - 10x^2 + 25$ $7x^2 > 21$ $x^2 > 3 \implies x \in (-\infty, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$.

Найдем пересечение решений для второй системы: $(x \in (-\infty, -\sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}, \infty)) \cap (x \in (-\infty, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty))$. Так как $\sqrt{5} > \sqrt{3}$, то если $x^2 \ge 5$, то $x^2$ автоматически больше 3. Следовательно, решением второй системы является $x^2 \ge 5$, то есть $x \in (-\infty, -\sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}, \infty)$.

Общее решение исходного неравенства является объединением решений обеих систем: $(-\sqrt{5}, \sqrt{5}) \cup ((-\infty, -\sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}, \infty))$. Объединение этих множеств дает всю числовую прямую.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.