Номер 30.43, страница 195, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 30. Иррациональные уравнения и неравенства. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 30.43, страница 195.

30.43. a) $\sqrt{\lg (10 - 5x)} \ge \sqrt{\lg x}$;

б) $\sqrt{\log_{0,3} (18 - 7x)} \le \sqrt{\log_{0,3} 0,25x}$.

а) $ \sqrt{\lg(10 - 5x)} \ge \sqrt{\lg x} $

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательны, а выражения под знаком логарифма — положительны.

Для этого решим систему неравенств:

$ \begin{cases} \lg(10 - 5x) \ge 0 \\ \lg x \ge 0 \end{cases} $

Основание десятичного логарифма равно 10, что больше 1, поэтому логарифмическая функция является возрастающей. Неравенство $ \log_a t \ge 0 $ при $ a > 1 $ равносильно $ t \ge 1 $. Также это условие гарантирует, что аргументы логарифмов положительны.

$ \begin{cases} 10 - 5x \ge 1 \\ x \ge 1 \end{cases} \implies \begin{cases} 9 \ge 5x \\ x \ge 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le \frac{9}{5} \\ x \ge 1 \end{cases} $

Таким образом, ОДЗ: $ x \in [1; 1.8] $.

2. Решим неравенство на его ОДЗ. Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$ (\sqrt{\lg(10 - 5x)})^2 \ge (\sqrt{\lg x})^2 $

$ \lg(10 - 5x) \ge \lg x $

Так как основание логарифма $ 10 > 1 $, переходим к неравенству для аргументов, сохраняя знак:

$ 10 - 5x \ge x $

$ 10 \ge 6x $

$ x \le \frac{10}{6} \implies x \le \frac{5}{3} $

3. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$ \begin{cases} x \le \frac{5}{3} \\ 1 \le x \le 1.8 \end{cases} $

Поскольку $ 1.8 = \frac{9}{5} $ и $ \frac{5}{3} \approx 1.67 $, имеем $ 1 \le \frac{5}{3} < \frac{9}{5} $.

Пересечением является промежуток $ [1; \frac{5}{3}] $.

Ответ: $ x \in [1; \frac{5}{3}] $.

б) $ \sqrt{\log_{0.3}(18 - 7x)} \le \sqrt{\log_{0.3}(0.25x)} $

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательны.

$ \begin{cases} \log_{0.3}(18 - 7x) \ge 0 \\ \log_{0.3}(0.25x) \ge 0 \end{cases} $

Основание логарифма $ 0.3 $ находится в интервале $ (0, 1) $, поэтому логарифмическая функция является убывающей. Неравенство $ \log_a t \ge 0 $ при $ a \in (0, 1) $ равносильно $ 0 < t \le 1 $.

$ \begin{cases} 0 < 18 - 7x \le 1 \\ 0 < 0.25x \le 1 \end{cases} $

Решим первое двойное неравенство:
$ 18 - 7x \le 1 \implies 17 \le 7x \implies x \ge \frac{17}{7} $.
$ 18 - 7x > 0 \implies 18 > 7x \implies x < \frac{18}{7} $.
Получаем $ \frac{17}{7} \le x < \frac{18}{7} $.

Решим второе двойное неравенство:
$ 0.25x \le 1 \implies \frac{1}{4}x \le 1 \implies x \le 4 $.
$ 0.25x > 0 \implies x > 0 $.
Получаем $ 0 < x \le 4 $.

Найдем пересечение этих двух решений для определения ОДЗ:

$ \begin{cases} \frac{17}{7} \le x < \frac{18}{7} \\ 0 < x \le 4 \end{cases} $

Так как $ \frac{17}{7} \approx 2.43 $ и $ \frac{18}{7} \approx 2.57 $, интервал $ [\frac{17}{7}; \frac{18}{7}) $ полностью содержится в интервале $ (0; 4] $. Таким образом, ОДЗ: $ x \in [\frac{17}{7}; \frac{18}{7}) $.

2. Решим неравенство на его ОДЗ. Возведем обе части в квадрат:

$ \log_{0.3}(18 - 7x) \le \log_{0.3}(0.25x) $

Так как основание логарифма $ 0.3 < 1 $, при переходе к неравенству для аргументов знак меняется на противоположный:

$ 18 - 7x \ge 0.25x $

$ 18 \ge 7x + 0.25x $

$ 18 \ge 7.25x \implies 18 \ge \frac{29}{4}x $

$ x \le 18 \cdot \frac{4}{29} \implies x \le \frac{72}{29} $

3. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$ \begin{cases} x \le \frac{72}{29} \\ \frac{17}{7} \le x < \frac{18}{7} \end{cases} $

Сравним дроби: $ \frac{17}{7} \approx 2.428 $, $ \frac{72}{29} \approx 2.483 $, $ \frac{18}{7} \approx 2.571 $.

Поскольку $ \frac{17}{7} < \frac{72}{29} < \frac{18}{7} $, пересечением является промежуток $ [\frac{17}{7}; \frac{72}{29}] $.

Ответ: $ x \in [\frac{17}{7}; \frac{72}{29}] $.