Номер 30.50, страница 196, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 30. Иррациональные уравнения и неравенства. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 30.50, страница 196.

30.50. a) $\sqrt{3x + 1} + \sqrt{x - 4} - \sqrt{4x + 5} < 0;$

б) $2\sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1} - 2\sqrt{x - 3} > 0;$

в) $2\sqrt{2x - 7} - \sqrt{x - 4} \ge 2\sqrt{x - 3};$

г) $\sqrt{6 - x} + \sqrt{3x - 5} \le \sqrt{4x + 1}.$

a) $\sqrt{3x + 1} + \sqrt{x - 4} - \sqrt{4x + 5} < 0$

Перепишем неравенство в виде $\sqrt{3x + 1} + \sqrt{x - 4} < \sqrt{4x + 5}$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Все подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} 3x + 1 \ge 0 \\ x - 4 \ge 0 \\ 4x + 5 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -1/3 \\ x \ge 4 \\ x \ge -5/4 \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x \ge 4$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [4, +\infty)$.

2. В области допустимых значений обе части неравенства $\sqrt{3x + 1} + \sqrt{x - 4} < \sqrt{4x + 5}$ неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат:

$(\sqrt{3x + 1} + \sqrt{x - 4})^2 < (\sqrt{4x + 5})^2$

$(3x + 1) + 2\sqrt{(3x + 1)(x - 4)} + (x - 4) < 4x + 5$

$4x - 3 + 2\sqrt{3x^2 - 12x + x - 4} < 4x + 5$

$4x - 3 + 2\sqrt{3x^2 - 11x - 4} < 4x + 5$

$2\sqrt{3x^2 - 11x - 4} < 8$

$\sqrt{3x^2 - 11x - 4} < 4$

3. Снова возведем в квадрат обе части (они неотрицательны):

$3x^2 - 11x - 4 < 16$

$3x^2 - 11x - 20 < 0$

4. Решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $3x^2 - 11x - 20 = 0$.

Дискриминант $D = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20) = 121 + 240 = 361 = 19^2$.

$x_1 = \frac{11 - 19}{6} = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3}$

$x_2 = \frac{11 + 19}{6} = \frac{30}{6} = 5$

Так как ветви параболы $y = 3x^2 - 11x - 20$ направлены вверх, неравенство $3x^2 - 11x - 20 < 0$ выполняется между корнями: $x \in (-4/3, 5)$.

5. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$x \in (-4/3, 5) \cap [4, +\infty)$

Результатом является интервал $[4, 5)$.

Ответ: $[4, 5)$.

б) $2\sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1} - 2\sqrt{x - 3} > 0$

Перепишем неравенство в виде $2\sqrt{x + 1} > \sqrt{x - 1} + 2\sqrt{x - 3}$.

1. Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x + 1 \ge 0 \\ x - 1 \ge 0 \\ x - 3 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -1 \\ x \ge 1 \\ x \ge 3 \end{cases}$

ОДЗ: $x \in [3, +\infty)$.

2. В ОДЗ обе части неравенства неотрицательны, возведем их в квадрат:

$(2\sqrt{x + 1})^2 > (\sqrt{x - 1} + 2\sqrt{x - 3})^2$

$4(x + 1) > (x - 1) + 4\sqrt{(x - 1)(x - 3)} + 4(x - 3)$

$4x + 4 > x - 1 + 4\sqrt{x^2 - 4x + 3} + 4x - 12$

$4x + 4 > 5x - 13 + 4\sqrt{x^2 - 4x + 3}$

$17 - x > 4\sqrt{x^2 - 4x + 3}$

3. Для дальнейшего решения левая часть должна быть положительной, так как правая часть (арифметический корень, умноженный на 4) неотрицательна. Если $17 - x \le 0$, то неравенство не имеет решений.

$17 - x > 0 \Rightarrow x < 17$.

С учетом этого условия, возведем обе части в квадрат:

$(17 - x)^2 > (4\sqrt{x^2 - 4x + 3})^2$

$289 - 34x + x^2 > 16(x^2 - 4x + 3)$

$289 - 34x + x^2 > 16x^2 - 64x + 48$

$0 > 15x^2 - 30x - 241$

$15x^2 - 30x - 241 < 0$

4. Решим квадратное неравенство. Найдем корни $15x^2 - 30x - 241 = 0$.

$D/4 = (-15)^2 - 15 \cdot (-241) = 225 + 3615 = 3840 = 256 \cdot 15$.

$x_{1,2} = \frac{15 \pm \sqrt{3840}}{15} = \frac{15 \pm 16\sqrt{15}}{15} = 1 \pm \frac{16\sqrt{15}}{15}$.

$x_1 = 1 - \frac{16\sqrt{15}}{15}$, $x_2 = 1 + \frac{16\sqrt{15}}{15}$.

Неравенство выполняется между корнями: $x \in (1 - \frac{16\sqrt{15}}{15}, 1 + \frac{16\sqrt{15}}{15})$.

5. Объединим все условия: ОДЗ $x \ge 3$, условие $x < 17$ и решение квадратного неравенства.

$\sqrt{15} \approx 3.87$, поэтому $1 + \frac{16\sqrt{15}}{15} \approx 1 + \frac{16 \cdot 3.87}{15} \approx 1 + 4.13 = 5.13$.

$1 - \frac{16\sqrt{15}}{15} \approx 1 - 4.13 = -3.13$.

Ищем пересечение: $x \in [3, +\infty) \cap (-\infty, 17) \cap (1 - \frac{16\sqrt{15}}{15}, 1 + \frac{16\sqrt{15}}{15})$.

Это равносильно $x \in [3, 1 + \frac{16\sqrt{15}}{15})$.

Ответ: $[3, 1 + \frac{16\sqrt{15}}{15})$.

в) $2\sqrt{2x - 7} - \sqrt{x - 4} \ge 2\sqrt{x - 3}$

Перепишем неравенство: $2\sqrt{2x - 7} \ge \sqrt{x - 4} + 2\sqrt{x - 3}$.

1. Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 2x - 7 \ge 0 \\ x - 4 \ge 0 \\ x - 3 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge 3.5 \\ x \ge 4 \\ x \ge 3 \end{cases}$

ОДЗ: $x \in [4, +\infty)$.

2. В ОДЗ обе части неравенства неотрицательны. Возведем в квадрат:

$(2\sqrt{2x - 7})^2 \ge (\sqrt{x - 4} + 2\sqrt{x - 3})^2$

$4(2x - 7) \ge (x - 4) + 4\sqrt{(x - 4)(x - 3)} + 4(x - 3)$

$8x - 28 \ge x - 4 + 4\sqrt{x^2 - 7x + 12} + 4x - 12$

$8x - 28 \ge 5x - 16 + 4\sqrt{x^2 - 7x + 12}$

$3x - 12 \ge 4\sqrt{x^2 - 7x + 12}$

3. В ОДЗ ($x \ge 4$) левая часть $3x - 12 = 3(x-4)$ неотрицательна. Поэтому можно снова возвести в квадрат:

$(3x - 12)^2 \ge (4\sqrt{x^2 - 7x + 12})^2$

$9(x - 4)^2 \ge 16(x^2 - 7x + 12)$

$9(x^2 - 8x + 16) \ge 16x^2 - 112x + 192$

$9x^2 - 72x + 144 \ge 16x^2 - 112x + 192$

$0 \ge 7x^2 - 40x + 48$

$7x^2 - 40x + 48 \le 0$

4. Решим квадратное неравенство. Найдем корни $7x^2 - 40x + 48 = 0$.

$D = (-40)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 48 = 1600 - 1344 = 256 = 16^2$.

$x_1 = \frac{40 - 16}{14} = \frac{24}{14} = \frac{12}{7}$

$x_2 = \frac{40 + 16}{14} = \frac{56}{14} = 4$

Неравенство $7x^2 - 40x + 48 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $x \in [12/7, 4]$.

5. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$x \in [12/7, 4] \cap [4, +\infty)$

Пересечением является единственная точка $x=4$.

Ответ: $\{4\}$.

г) $\sqrt{6 - x} + \sqrt{3x - 5} \le \sqrt{4x + 1}$

1. Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 6 - x \ge 0 \\ 3x - 5 \ge 0 \\ 4x + 1 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \le 6 \\ x \ge 5/3 \\ x \ge -1/4 \end{cases}$

ОДЗ: $x \in [5/3, 6]$.

2. В ОДЗ обе части неравенства неотрицательны, возведем в квадрат:

$(\sqrt{6 - x} + \sqrt{3x - 5})^2 \le (\sqrt{4x + 1})^2$

$(6 - x) + 2\sqrt{(6 - x)(3x - 5)} + (3x - 5) \le 4x + 1$

$2x + 1 + 2\sqrt{-3x^2 + 18x + 5x - 30} \le 4x + 1$

$2\sqrt{-3x^2 + 23x - 30} \le 2x$

$\sqrt{-3x^2 + 23x - 30} \le x$

3. В ОДЗ $x \in [5/3, 6]$, правая часть $x$ всегда положительна. Поэтому можем возвести в квадрат:

$-3x^2 + 23x - 30 \le x^2$

$0 \le 4x^2 - 23x + 30$

$4x^2 - 23x + 30 \ge 0$

4. Решим квадратное неравенство. Найдем корни $4x^2 - 23x + 30 = 0$.

$D = (-23)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 30 = 529 - 480 = 49 = 7^2$.

$x_1 = \frac{23 - 7}{8} = \frac{16}{8} = 2$

$x_2 = \frac{23 + 7}{8} = \frac{30}{8} = \frac{15}{4}$

Неравенство $4x^2 - 23x + 30 \ge 0$ выполняется вне отрезка между корнями: $x \in (-\infty, 2] \cup [15/4, +\infty)$.

5. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ $x \in [5/3, 6]$:

$([5/3, 6]) \cap ((-\infty, 2] \cup [15/4, +\infty))$

$([5/3, 6] \cap (-\infty, 2]) \cup ([5/3, 6] \cap [15/4, +\infty))$

Так как $5/3 \approx 1.67$ и $15/4 = 3.75$:

$[5/3, 2] \cup [15/4, 6]$

Ответ: $[5/3, 2] \cup [15/4, 6]$.