Номер 30.52, страница 197, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 30. Иррациональные уравнения и неравенства. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 30.52, страница 197.

30.52. a) $\sqrt{\frac{2x + 3}{2x - 1}} + 4 \cdot \sqrt{\frac{2x - 1}{2x + 3}} > 4;$

б) $5 \cdot \sqrt{\frac{x + 3}{5x - 1}} + \sqrt{\frac{5x - 1}{x + 3}} < 6.$

a)

Решим неравенство $\sqrt{\frac{2x+3}{2x-1}} + 4 \cdot \sqrt{\frac{2x-1}{2x+3}} > 4$.
1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнями должны быть неотрицательны, а знаменатели не должны равняться нулю.
Это означает, что дроби под корнями должны быть строго положительны:
$\frac{2x+3}{2x-1} > 0$.
Это неравенство равносильно $(2x+3)(2x-1) > 0$.
Корни сомножителей: $x_1 = -3/2$, $x_2 = 1/2$.
Методом интервалов находим, что неравенство выполняется при $x \in (-\infty; -3/2) \cup (1/2; +\infty)$. Это и есть ОДЗ.

2. Сделаем замену. Пусть $t = \sqrt{\frac{2x+3}{2x-1}}$.
Так как в ОДЗ подкоренное выражение строго положительно, то $t > 0$.
Тогда $\sqrt{\frac{2x-1}{2x+3}} = \frac{1}{t}$.
Неравенство принимает вид: $t + \frac{4}{t} > 4$.

3. Решим неравенство относительно $t$. Поскольку $t > 0$, можно умножить обе части на $t$, не меняя знака неравенства:
$t^2 + 4 > 4t$
$t^2 - 4t + 4 > 0$
$(t-2)^2 > 0$
Это неравенство верно для всех действительных значений $t$, кроме $t=2$. Учитывая, что $t>0$, получаем $t \in (0; 2) \cup (2; +\infty)$.

4. Вернемся к исходной переменной $x$.
Условие $t \neq 2$ означает, что:
$\sqrt{\frac{2x+3}{2x-1}} \neq 2$
Возведем обе части в квадрат (обе части неотрицательны):
$\frac{2x+3}{2x-1} \neq 4$
При $x \neq 1/2$ можем умножить на знаменатель:
$2x+3 \neq 4(2x-1)$
$2x+3 \neq 8x - 4$
$7 \neq 6x$
$x \neq \frac{7}{6}$

5. Совместим полученное условие с ОДЗ.
Решением является вся область допустимых значений, за исключением точки $x = 7/6$.
Проверим, входит ли $x=7/6$ в ОДЗ. $1/2 = 0.5$, а $7/6 \approx 1.17$, значит $7/6$ принадлежит интервалу $(1/2; +\infty)$, то есть входит в ОДЗ.
Таким образом, мы должны исключить эту точку из решения.
Ответ: $x \in (-\infty; -3/2) \cup (1/2; 7/6) \cup (7/6; +\infty)$.

б)

Решим неравенство $5 \cdot \sqrt{\frac{x+3}{5x-1}} + \sqrt{\frac{5x-1}{x+3}} < 6$.
1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Подкоренные выражения должны быть строго положительны:
$\frac{x+3}{5x-1} > 0$, что равносильно $(x+3)(5x-1) > 0$.
Корни: $x = -3$ и $x = 1/5$.
Решение неравенства: $x \in (-\infty; -3) \cup (1/5; +\infty)$. Это ОДЗ.

2. Сделаем замену. Пусть $y = \sqrt{\frac{x+3}{5x-1}}$.
Из ОДЗ следует, что $y > 0$.
Тогда $\sqrt{\frac{5x-1}{x+3}} = \frac{1}{y}$.
Неравенство принимает вид: $5y + \frac{1}{y} < 6$.

3. Решим неравенство относительно $y$. Умножим на $y > 0$:
$5y^2 + 1 < 6y$
$5y^2 - 6y + 1 < 0$
Найдем корни квадратного уравнения $5y^2 - 6y + 1 = 0$.
Дискриминант $D = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 - 20 = 16 = 4^2$.
Корни: $y_1 = \frac{6-4}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$, $y_2 = \frac{6+4}{10} = \frac{10}{10} = 1$.
Так как ветви параболы $5y^2 - 6y + 1$ направлены вверх, неравенство выполняется между корнями: $\frac{1}{5} < y < 1$.

4. Вернемся к переменной $x$, выполнив обратную замену:
$\frac{1}{5} < \sqrt{\frac{x+3}{5x-1}} < 1$
Так как все части неравенства положительны, возведем их в квадрат:
$\frac{1}{25} < \frac{x+3}{5x-1} < 1$
Это равносильно системе двух неравенств:
1) $\frac{x+3}{5x-1} < 1 \implies \frac{x+3 - (5x-1)}{5x-1} < 0 \implies \frac{4-4x}{5x-1} < 0 \implies \frac{4(1-x)}{5x-1} < 0 \implies \frac{x-1}{5x-1} > 0$.
Решение: $x \in (-\infty; 1/5) \cup (1; +\infty)$.
2) $\frac{x+3}{5x-1} > \frac{1}{25} \implies \frac{x+3}{5x-1} - \frac{1}{25} > 0 \implies \frac{25(x+3) - (5x-1)}{25(5x-1)} > 0 \implies \frac{20x+76}{25(5x-1)} > 0 \implies \frac{5x+19}{5x-1} > 0$.
Решение: $x \in (-\infty; -19/5) \cup (1/5; +\infty)$.

5. Найдем пересечение решений системы и учтем ОДЗ.
Пересечение решений двух неравенств (1) и (2) дает: $x \in (-\infty; -19/5) \cup (1; +\infty)$.
Теперь учтем ОДЗ: $x \in (-\infty; -3) \cup (1/5; +\infty)$.
Найдем пересечение множеств $(-\infty; -19/5) \cup (1; +\infty)$ и $(-\infty; -3) \cup (1/5; +\infty)$.
Сравнивая числа: $-19/5 = -3.8$. Так как $-3.8 < -3$, то $(-\infty; -19/5) \cap (-\infty; -3) = (-\infty; -19/5)$.
Сравнивая числа: $1 > 1/5$. Так как $1 > 0.2$, то $(1; +\infty) \cap (1/5; +\infty) = (1; +\infty)$.
Объединяя результаты, получаем итоговое решение.
Ответ: $x \in (-\infty; -19/5) \cup (1; +\infty)$.