Номер 30.45, страница 196, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 30. Иррациональные уравнения и неравенства. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 30.45, страница 196.

30.45. a) Докажите, что неравенство $\sqrt{f(x)} < h(x)$ равносильно системе $ \begin{cases} f(x) < h^2(x), \\ h(x) > 0, \\ f(x) \ge 0. \end{cases} $

б) Докажите, что неравенство $\sqrt{f(x)} > h(x)$ равносильно совокупности двух систем: $ \begin{cases} f(x) \ge 0, \\ h(x) < 0 \end{cases}, \quad \begin{cases} f(x) > h^2(x), \\ h(x) \ge 0. \end{cases} $

а) Докажите, что неравенство $\sqrt{f(x)} < h(x)$ равносильно системе...

Для доказательства равносильности необходимо показать, что любое решение неравенства является решением системы, и наоборот, любое решение системы является решением неравенства.

1. Прямое следование (Неравенство $\implies$ Система)

Пусть $x_0$ – некоторое решение неравенства $\sqrt{f(x)} < h(x)$. Это означает, что при $x=x_0$ данное числовое неравенство является верным.

• По определению арифметического квадратного корня, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Следовательно, должно выполняться условие $f(x_0) \ge 0$. Это третье неравенство в системе.
• Также по определению, значение арифметического квадратного корня является неотрицательным числом: $\sqrt{f(x_0)} \ge 0$.
• Поскольку левая часть неравенства $\sqrt{f(x_0)} < h(x_0)$ неотрицательна, то правая часть $h(x_0)$ должна быть строго больше левой, а значит, и строго больше нуля: $h(x_0) > 0$. Это второе неравенство в системе.
• Так как обе части исходного неравенства, $\sqrt{f(x_0)}$ и $h(x_0)$, неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства: $(\sqrt{f(x_0)})^2 < (h(x_0))^2$, что приводит к $f(x_0) < h^2(x_0)$. Это первое неравенство в системе.

Таким образом, любое решение $x_0$ исходного неравенства удовлетворяет всем трем условиям системы.

2. Обратное следование (Система $\implies$ Неравенство)

Пусть теперь $x_0$ – некоторое решение системы:

$\begin{cases} f(x_0) < h^2(x_0), \\ h(x_0) > 0, \\ f(x_0) \ge 0. \end{cases}$

• Из условия $f(x_0) \ge 0$ следует, что выражение $\sqrt{f(x_0)}$ определено.
• Из условия $h(x_0) > 0$ следует, что $h(x_0)$ положительно.
• Возьмем первое неравенство системы $f(x_0) < h^2(x_0)$. Так как обе части неотрицательны ($f(x_0) \ge 0$ по условию, $h^2(x_0) > 0$ так как $h(x_0) > 0$), мы можем извлечь из них квадратный корень: $\sqrt{f(x_0)} < \sqrt{h^2(x_0)}$.
• Поскольку $\sqrt{h^2(x_0)} = |h(x_0)|$, получаем $\sqrt{f(x_0)} < |h(x_0)|$.
• Так как из второго условия системы мы знаем, что $h(x_0) > 0$, то $|h(x_0)| = h(x_0)$.
• Подставив это в предыдущее неравенство, получаем $\sqrt{f(x_0)} < h(x_0)$, что является исходным неравенством.

Поскольку множества решений неравенства и системы совпадают, они равносильны.
Ответ: Доказано.

б) Докажите, что неравенство $\sqrt{f(x)} > h(x)$ равносильно совокупности двух систем...

Область допустимых значений (ОДЗ) исходного неравенства определяется условием $f(x) \ge 0$. Решение неравенства зависит от знака правой части $h(x)$. Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Правая часть отрицательна, то есть $h(x) < 0$.

Левая часть неравенства, $\sqrt{f(x)}$, если она определена, всегда неотрицательна ($\sqrt{f(x)} \ge 0$). Любое неотрицательное число всегда больше любого отрицательного числа. Поэтому, если $h(x) < 0$, неравенство $\sqrt{f(x)} > h(x)$ будет верным для всех $x$, для которых левая часть определена, то есть для всех $x$, удовлетворяющих ОДЗ $f(x) \ge 0$.

Таким образом, в этом случае решения определяются системой:

$\begin{cases} f(x) \ge 0, \\ h(x) < 0. \end{cases}$

Случай 2: Правая часть неотрицательна, то есть $h(x) \ge 0$.

В этом случае обе части неравенства $\sqrt{f(x)} > h(x)$ неотрицательны. Мы можем возвести обе части в квадрат, при этом знак неравенства сохранится:

$(\sqrt{f(x)})^2 > (h(x))^2$

$f(x) > h^2(x)$

Заметим, что условие ОДЗ ($f(x) \ge 0$) в данном случае выполняется автоматически. Поскольку $h(x) \ge 0$, то $h^2(x) \ge 0$. Если $f(x) > h^2(x)$, то $f(x)$ заведомо больше неотрицательного числа, а значит, $f(x) \ge 0$. Поэтому условие $f(x) \ge 0$ является избыточным и его можно не включать в систему для этого случая.

Таким образом, во втором случае решения определяются системой:

$\begin{cases} f(x) > h^2(x), \\ h(x) \ge 0. \end{cases}$

Общее решение исходного неравенства является объединением (совокупностью) решений, найденных в Случае 1 и Случае 2. Это означает, что $x$ является решением, если оно удовлетворяет либо первой системе, либо второй. Таким образом, неравенство $\sqrt{f(x)} > h(x)$ равносильно совокупности двух систем:

$\left[ \begin{array}{l} \begin{cases} f(x) \ge 0, \\ h(x) < 0 \end{cases} \\ \begin{cases} f(x) > h^2(x), \\ h(x) \ge 0 \end{cases} \end{array} \right.$

Это и есть та совокупность, равносильность которой требовалось доказать.
Ответ: Доказано.