Страница 196, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

30.45. a) Докажите, что неравенство $\sqrt{f(x)} < h(x)$ равносильно системе $ \begin{cases} f(x) < h^2(x), \\ h(x) > 0, \\ f(x) \ge 0. \end{cases} $

б) Докажите, что неравенство $\sqrt{f(x)} > h(x)$ равносильно совокупности двух систем: $ \begin{cases} f(x) \ge 0, \\ h(x) < 0 \end{cases}, \quad \begin{cases} f(x) > h^2(x), \\ h(x) \ge 0. \end{cases} $

а) Докажите, что неравенство $\sqrt{f(x)} < h(x)$ равносильно системе...

Для доказательства равносильности необходимо показать, что любое решение неравенства является решением системы, и наоборот, любое решение системы является решением неравенства.

1. Прямое следование (Неравенство $\implies$ Система)

Пусть $x_0$ – некоторое решение неравенства $\sqrt{f(x)} < h(x)$. Это означает, что при $x=x_0$ данное числовое неравенство является верным.

• По определению арифметического квадратного корня, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Следовательно, должно выполняться условие $f(x_0) \ge 0$. Это третье неравенство в системе.
• Также по определению, значение арифметического квадратного корня является неотрицательным числом: $\sqrt{f(x_0)} \ge 0$.
• Поскольку левая часть неравенства $\sqrt{f(x_0)} < h(x_0)$ неотрицательна, то правая часть $h(x_0)$ должна быть строго больше левой, а значит, и строго больше нуля: $h(x_0) > 0$. Это второе неравенство в системе.
• Так как обе части исходного неравенства, $\sqrt{f(x_0)}$ и $h(x_0)$, неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства: $(\sqrt{f(x_0)})^2 < (h(x_0))^2$, что приводит к $f(x_0) < h^2(x_0)$. Это первое неравенство в системе.

Таким образом, любое решение $x_0$ исходного неравенства удовлетворяет всем трем условиям системы.

2. Обратное следование (Система $\implies$ Неравенство)

Пусть теперь $x_0$ – некоторое решение системы:

$\begin{cases} f(x_0) < h^2(x_0), \\ h(x_0) > 0, \\ f(x_0) \ge 0. \end{cases}$

• Из условия $f(x_0) \ge 0$ следует, что выражение $\sqrt{f(x_0)}$ определено.
• Из условия $h(x_0) > 0$ следует, что $h(x_0)$ положительно.
• Возьмем первое неравенство системы $f(x_0) < h^2(x_0)$. Так как обе части неотрицательны ($f(x_0) \ge 0$ по условию, $h^2(x_0) > 0$ так как $h(x_0) > 0$), мы можем извлечь из них квадратный корень: $\sqrt{f(x_0)} < \sqrt{h^2(x_0)}$.
• Поскольку $\sqrt{h^2(x_0)} = |h(x_0)|$, получаем $\sqrt{f(x_0)} < |h(x_0)|$.
• Так как из второго условия системы мы знаем, что $h(x_0) > 0$, то $|h(x_0)| = h(x_0)$.
• Подставив это в предыдущее неравенство, получаем $\sqrt{f(x_0)} < h(x_0)$, что является исходным неравенством.

Поскольку множества решений неравенства и системы совпадают, они равносильны.
Ответ: Доказано.

б) Докажите, что неравенство $\sqrt{f(x)} > h(x)$ равносильно совокупности двух систем...

Область допустимых значений (ОДЗ) исходного неравенства определяется условием $f(x) \ge 0$. Решение неравенства зависит от знака правой части $h(x)$. Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Правая часть отрицательна, то есть $h(x) < 0$.

Левая часть неравенства, $\sqrt{f(x)}$, если она определена, всегда неотрицательна ($\sqrt{f(x)} \ge 0$). Любое неотрицательное число всегда больше любого отрицательного числа. Поэтому, если $h(x) < 0$, неравенство $\sqrt{f(x)} > h(x)$ будет верным для всех $x$, для которых левая часть определена, то есть для всех $x$, удовлетворяющих ОДЗ $f(x) \ge 0$.

Таким образом, в этом случае решения определяются системой:

$\begin{cases} f(x) \ge 0, \\ h(x) < 0. \end{cases}$

Случай 2: Правая часть неотрицательна, то есть $h(x) \ge 0$.

В этом случае обе части неравенства $\sqrt{f(x)} > h(x)$ неотрицательны. Мы можем возвести обе части в квадрат, при этом знак неравенства сохранится:

$(\sqrt{f(x)})^2 > (h(x))^2$

$f(x) > h^2(x)$

Заметим, что условие ОДЗ ($f(x) \ge 0$) в данном случае выполняется автоматически. Поскольку $h(x) \ge 0$, то $h^2(x) \ge 0$. Если $f(x) > h^2(x)$, то $f(x)$ заведомо больше неотрицательного числа, а значит, $f(x) \ge 0$. Поэтому условие $f(x) \ge 0$ является избыточным и его можно не включать в систему для этого случая.

Таким образом, во втором случае решения определяются системой:

$\begin{cases} f(x) > h^2(x), \\ h(x) \ge 0. \end{cases}$

Общее решение исходного неравенства является объединением (совокупностью) решений, найденных в Случае 1 и Случае 2. Это означает, что $x$ является решением, если оно удовлетворяет либо первой системе, либо второй. Таким образом, неравенство $\sqrt{f(x)} > h(x)$ равносильно совокупности двух систем:

$\left[ \begin{array}{l} \begin{cases} f(x) \ge 0, \\ h(x) < 0 \end{cases} \\ \begin{cases} f(x) > h^2(x), \\ h(x) \ge 0 \end{cases} \end{array} \right.$

Это и есть та совокупность, равносильность которой требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

Решите неравенство:

30.46. а) $\sqrt{x + 6} < x;$

б) $\sqrt{5 + 12x - x^2} > x - 7;$

в) $\sqrt{2x^3 + x^2 - 20} \le x;$

г) $\sqrt{2x^3 + x + 3} \ge x\sqrt{6}.$

а)

Дано неравенство $\sqrt{x+6} < x$.

Это неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$ равносильно системе неравенств:

$\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) > 0 \\ f(x) < (g(x))^2 \end{cases}$

Подставляем наши выражения:

$\begin{cases} x+6 \ge 0 \\ x > 0 \\ x+6 < x^2 \end{cases}$

Решаем каждое неравенство системы:

1. $x+6 \ge 0 \implies x \ge -6$.

2. $x > 0$.

3. $x+6 < x^2 \implies x^2 - x - 6 > 0$.

Для решения квадратного неравенства найдем корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.

Так как ветви параболы $y=x^2-x-6$ направлены вверх, неравенство $x^2-x-6>0$ выполняется при $x \in (-\infty, -2) \cup (3, +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений всех трех неравенств:

$x \in [-6, +\infty) \cap (0, +\infty) \cap ((-\infty, -2) \cup (3, +\infty))$.

Пересечение первых двух интервалов дает $x \in (0, +\infty)$.

Пересекая $(0, +\infty)$ с $(-\infty, -2) \cup (3, +\infty)$, получаем итоговое решение $x \in (3, +\infty)$.

Ответ: $(3, +\infty)$.

б)

Дано неравенство $\sqrt{5 + 12x - x^2} > x - 7$.

Это неравенство вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$ распадается на две совокупности систем:

1. Если правая часть отрицательна, $x - 7 < 0$, то неравенство выполняется для всех $x$, при которых подкоренное выражение неотрицательно.

$\begin{cases} x - 7 < 0 \\ 5 + 12x - x^2 \ge 0 \end{cases}$

Решаем эту систему:

$x < 7$.

$5 + 12x - x^2 \ge 0 \implies x^2 - 12x - 5 \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 12x - 5 = 0$: $D = (-12)^2 - 4(1)(-5) = 144 + 20 = 164 = 4 \cdot 41$.

$x = \frac{12 \pm \sqrt{164}}{2} = \frac{12 \pm 2\sqrt{41}}{2} = 6 \pm \sqrt{41}$.

Решение неравенства $x^2 - 12x - 5 \le 0$ есть отрезок $[6 - \sqrt{41}, 6 + \sqrt{41}]$.

Найдем пересечение $x < 7$ и $x \in [6 - \sqrt{41}, 6 + \sqrt{41}]$. Так как $6 < \sqrt{41} < 7$, то $6+\sqrt{41} > 12$. Следовательно, $7 < 6+\sqrt{41}$.

Решение первой системы: $x \in [6 - \sqrt{41}, 7)$.

2. Если правая часть неотрицательна, $x - 7 \ge 0$, то можно возвести обе части в квадрат.

$\begin{cases} x - 7 \ge 0 \\ 5 + 12x - x^2 > (x - 7)^2 \end{cases}$

Решаем эту систему:

$x \ge 7$.

$5 + 12x - x^2 > x^2 - 14x + 49 \implies 2x^2 - 26x + 44 < 0 \implies x^2 - 13x + 22 < 0$.

Корни уравнения $x^2 - 13x + 22 = 0$ это $x_1 = 2$, $x_2 = 11$.

Решение неравенства $x^2 - 13x + 22 < 0$ есть интервал $(2, 11)$.

Найдем пересечение $x \ge 7$ и $x \in (2, 11)$. Получаем $x \in [7, 11)$.

Объединяя решения обоих случаев, получаем:

$[6 - \sqrt{41}, 7) \cup [7, 11) = [6 - \sqrt{41}, 11)$.

Ответ: $[6 - \sqrt{41}, 11)$.

в)

Дано неравенство $\sqrt{2x^3 + x^2 - 20} \le x$.

Это неравенство вида $\sqrt{f(x)} \le g(x)$ равносильно системе неравенств:

$\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) \ge 0 \\ f(x) \le (g(x))^2 \end{cases}$

Подставляем наши выражения:

$\begin{cases} 2x^3 + x^2 - 20 \ge 0 \\ x \ge 0 \\ 2x^3 + x^2 - 20 \le x^2 \end{cases}$

Решим третье неравенство: $2x^3 + x^2 - 20 \le x^2 \implies 2x^3 \le 20 \implies x^3 \le 10 \implies x \le \sqrt[3]{10}$.

Решим первое неравенство: $2x^3 + x^2 - 20 \ge 0$.

Найдем корень многочлена $P(x) = 2x^3 + x^2 - 20$. Подбором находим, что $x=2$ является корнем: $P(2) = 2(2^3) + 2^2 - 20 = 16 + 4 - 20 = 0$.

Разделим многочлен на $(x-2)$: $(2x^3 + x^2 - 20) : (x-2) = 2x^2 + 5x + 10$.

Получаем $(x-2)(2x^2 + 5x + 10) \ge 0$.

Квадратный трехчлен $2x^2 + 5x + 10$ имеет дискриминант $D = 5^2 - 4(2)(10) = 25 - 80 = -55 < 0$. Так как старший коэффициент положителен, этот трехчлен всегда больше нуля.

Следовательно, неравенство равносильно $x-2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$.

Теперь объединим все условия в систему:

$\begin{cases} x \ge 2 \\ x \ge 0 \\ x \le \sqrt[3]{10} \end{cases}$

Пересечение этих условий дает $2 \le x \le \sqrt[3]{10}$. Так как $2^3 = 8 < 10$, то $2 < \sqrt[3]{10}$, и интервал не пуст.

Ответ: $[2, \sqrt[3]{10}]$.

г)

Дано неравенство $\sqrt{2x^3 + x + 3} \ge x\sqrt{6}$.

Это неравенство вида $\sqrt{f(x)} \ge g(x)$ распадается на две совокупности систем:

1. Если $x\sqrt{6} < 0 \implies x < 0$. Неравенство верно, если подкоренное выражение определено:

$\begin{cases} x < 0 \\ 2x^3 + x + 3 \ge 0 \end{cases}$

Решим $2x^3 + x + 3 \ge 0$. Подбором находим корень $x=-1$. Делим многочлен на $(x+1)$ и получаем $(x+1)(2x^2 - 2x + 3) \ge 0$. Дискриминант $2x^2 - 2x + 3$ равен $D = (-2)^2 - 4(2)(3) = 4 - 24 = -20 < 0$, поэтому $2x^2 - 2x + 3 > 0$ для всех $x$. Неравенство равносильно $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$.

Пересечение $x < 0$ и $x \ge -1$ дает решение $x \in [-1, 0)$.

2. Если $x\sqrt{6} \ge 0 \implies x \ge 0$. Можно возвести обе части в квадрат:

$\begin{cases} x \ge 0 \\ 2x^3 + x + 3 \ge (x\sqrt{6})^2 \end{cases}$

Решаем второе неравенство: $2x^3 + x + 3 \ge 6x^2 \implies 2x^3 - 6x^2 + x + 3 \ge 0$.

Подбором находим корень $x=1$. Делим многочлен на $(x-1)$ и получаем $(x-1)(2x^2 - 4x - 3) \ge 0$.

Найдем корни $2x^2 - 4x - 3 = 0$: $x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(2)(-3)}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{40}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{10}}{2}$.

Таким образом, корни кубического многочлена: $\frac{2 - \sqrt{10}}{2}, 1, \frac{2 + \sqrt{10}}{2}$.

Решаем неравенство $2x^3 - 6x^2 + x + 3 \ge 0$ методом интервалов. Решением будет $x \in [\frac{2 - \sqrt{10}}{2}, 1] \cup [\frac{2 + \sqrt{10}}{2}, +\infty)$.

Находим пересечение этого решения с условием $x \ge 0$. Так как $\frac{2 - \sqrt{10}}{2} < 0$, получаем $x \in [0, 1] \cup [\frac{2 + \sqrt{10}}{2}, +\infty)$.

Объединяя решения обоих случаев, получаем:

$[-1, 0) \cup ([0, 1] \cup [\frac{2 + \sqrt{10}}{2}, +\infty)) = [-1, 1] \cup [\frac{2 + \sqrt{10}}{2}, +\infty)$.

Ответ: $[-1, 1] \cup [\frac{2 + \sqrt{10}}{2}, +\infty)$.

30.47. a) $\sqrt{(x + 2)(x - 5)} < 8 - x;$

б) $\sqrt{x^2 - 4x} > x - 3;$

в) $\sqrt{x^2 - 5x + 6} \le x + 4;$

г) $\sqrt{3x^2 - 22x} \ge 2x - 7.$

а) Решим неравенство $\sqrt{(x + 2)(x - 5)} < 8 - x$.

Это неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$, которое равносильно системе:

$\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) > 0 \\ f(x) < (g(x))^2 \end{cases} \implies \begin{cases} (x+2)(x-5) \ge 0 \\ 8-x > 0 \\ (x+2)(x-5) < (8-x)^2 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы по отдельности:

1. $(x+2)(x-5) \ge 0$. Корни левой части: $x_1 = -2, x_2 = 5$. Ветви параболы $y=(x+2)(x-5)$ направлены вверх, поэтому решение: $x \in (-\infty; -2] \cup [5; +\infty)$.

2. $8-x > 0 \implies x < 8$.

3. Раскроем скобки в третьем неравенстве: $x^2 - 3x - 10 < 64 - 16x + x^2$.

Перенесем слагаемые: $-3x + 16x < 64 + 10 \implies 13x < 74 \implies x < \frac{74}{13}$.

Теперь найдем пересечение решений всех трех неравенств: $x \in ((-\infty; -2] \cup [5; +\infty)) \cap (-\infty; 8) \cap (-\infty; \frac{74}{13})$.

Так как $5 < \frac{74}{13} \approx 5.69$ и $\frac{74}{13} < 8$, то пересечение интервалов $(-\infty; 8)$ и $(-\infty; \frac{74}{13})$ есть $(-\infty; \frac{74}{13})$.

Таким образом, ищем пересечение $((-\infty; -2] \cup [5; +\infty)) \cap (-\infty; \frac{74}{13})$.

Это дает нам два интервала: $x \in (-\infty; -2]$ и $x \in [5; \frac{74}{13})$.

Объединяя их, получаем окончательное решение.

Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup [5; \frac{74}{13})$.

б) Решим неравенство $\sqrt{x^2 - 4x} > x - 3$.

Это неравенство вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$, которое равносильно совокупности двух систем.

Система 1 (когда правая часть отрицательна): $\begin{cases} x - 3 < 0 \\ x^2 - 4x \ge 0 \end{cases}$

Система 2 (когда правая часть неотрицательна): $\begin{cases} x - 3 \ge 0 \\ x^2 - 4x > (x - 3)^2 \end{cases}$

Решим Систему 1:

1. $x - 3 < 0 \implies x < 3$.

2. $x^2 - 4x \ge 0 \implies x(x-4) \ge 0$. Корни: $x=0, x=4$. Решение: $x \in (-\infty; 0] \cup [4; +\infty)$.

Пересечение решений для Системы 1 ($x < 3$ и ($x \le 0$ или $x \ge 4$)) дает: $x \in (-\infty; 0]$.

Решим Систему 2:

1. $x - 3 \ge 0 \implies x \ge 3$.

2. $x^2 - 4x > x^2 - 6x + 9 \implies -4x > -6x + 9 \implies 2x > 9 \implies x > \frac{9}{2}$.

Пересечение решений для Системы 2 ($x \ge 3$ и $x > 4.5$) дает: $x \in (\frac{9}{2}; +\infty)$.

Объединим решения обеих систем: $(-\infty; 0] \cup (\frac{9}{2}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup (\frac{9}{2}; +\infty)$.

в) Решим неравенство $\sqrt{x^2 - 5x + 6} \le x + 4$.

Это неравенство вида $\sqrt{f(x)} \le g(x)$, которое равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 5x + 6 \ge 0 \\ x + 4 \ge 0 \\ x^2 - 5x + 6 \le (x + 4)^2 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы.

1. $x^2 - 5x + 6 \ge 0$. Разложим на множители: $(x-2)(x-3) \ge 0$. Корни: $x_1=2, x_2=3$. Решение: $x \in (-\infty; 2] \cup [3; +\infty)$.

2. $x + 4 \ge 0 \implies x \ge -4$.

3. $x^2 - 5x + 6 \le x^2 + 8x + 16 \implies -5x - 8x \le 16 - 6 \implies -13x \le 10 \implies 13x \ge -10 \implies x \ge -\frac{10}{13}$.

Теперь найдем пересечение решений всех трех неравенств. Пересечение $x \ge -4$ и $x \ge -\frac{10}{13}$ дает $x \ge -\frac{10}{13}$.

Таким образом, ищем пересечение $x \in ((-\infty; 2] \cup [3; +\infty)) \cap [-\frac{10}{13}; +\infty)$.

Это дает нам два интервала: $x \in [-\frac{10}{13}; 2]$ и $x \in [3; +\infty)$.

Объединяя их, получаем окончательное решение.

Ответ: $x \in [-\frac{10}{13}; 2] \cup [3; +\infty)$.

г) Решим неравенство $\sqrt{3x^2 - 22x} \ge 2x - 7$.

Это неравенство вида $\sqrt{f(x)} \ge g(x)$, которое равносильно совокупности двух систем.

Система 1 (когда правая часть отрицательна): $\begin{cases} 2x - 7 < 0 \\ 3x^2 - 22x \ge 0 \end{cases}$

Система 2 (когда правая часть неотрицательна): $\begin{cases} 2x - 7 \ge 0 \\ 3x^2 - 22x \ge (2x - 7)^2 \end{cases}$

Решим Систему 1:

1. $2x - 7 < 0 \implies 2x < 7 \implies x < \frac{7}{2}$.

2. $3x^2 - 22x \ge 0 \implies x(3x - 22) \ge 0$. Корни: $x=0, x=\frac{22}{3}$. Решение: $x \in (-\infty; 0] \cup [\frac{22}{3}; +\infty)$.

Пересечение решений для Системы 1 ($x < 3.5$ и ($x \le 0$ или $x \ge \frac{22}{3} \approx 7.33$)) дает: $x \in (-\infty; 0]$.

Решим Систему 2:

1. $2x - 7 \ge 0 \implies x \ge \frac{7}{2}$.

2. $3x^2 - 22x \ge 4x^2 - 28x + 49 \implies 0 \ge x^2 - 6x + 49$.

Рассмотрим квадратный трехчлен $x^2 - 6x + 49$. Его дискриминант $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 49 = 36 - 196 = -160$.

Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($1>0$), то трехчлен $x^2 - 6x + 49$ всегда положителен. Следовательно, неравенство $x^2 - 6x + 49 \le 0$ не имеет решений.

Значит, Система 2 не имеет решений.

Решением исходного неравенства является решение Системы 1.

Ответ: $x \in (-\infty; 0]$.

30.48. a) $ \sqrt{x^4 - 3x^2 + 4} < x^2 - 5;$

б) $ \sqrt{x^4 - 3x^2 + 4} > x^2 - 5.$

а)

Решим неравенство $\sqrt{x^4 - 3x^2 + 4} < x^2 - 5$.

Для того чтобы данное неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$ имело решение, необходимо выполнение системы условий: $$ \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) > 0 \\ f(x) < (g(x))^2 \end{cases} $$ Применим это к нашему неравенству: $$ \begin{cases} x^4 - 3x^2 + 4 \ge 0 \\ x^2 - 5 > 0 \\ x^4 - 3x^2 + 4 < (x^2 - 5)^2 \end{cases} $$

1. Проверим первое условие: $x^4 - 3x^2 + 4 \ge 0$. Сделаем замену переменной $t = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то и $t \ge 0$. Получим квадратное выражение $t^2 - 3t + 4$. Найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$. Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), а старший коэффициент положителен ($a=1 > 0$), то квадратный трехчлен $t^2 - 3t + 4$ всегда принимает положительные значения. Следовательно, неравенство $x^4 - 3x^2 + 4 \ge 0$ выполняется для любых действительных значений $x$.

2. Решим второе неравенство системы: $x^2 - 5 > 0$ $x^2 > 5$

3. Решим третье неравенство системы: $x^4 - 3x^2 + 4 < (x^2 - 5)^2$ $x^4 - 3x^2 + 4 < x^4 - 10x^2 + 25$ Перенесем все члены в одну сторону: $x^4 - 3x^2 + 4 - x^4 + 10x^2 - 25 < 0$ $7x^2 - 21 < 0$ $7x^2 < 21$ $x^2 < 3$

Теперь объединим результаты второго и третьего шагов в систему: $$ \begin{cases} x^2 > 5 \\ x^2 < 3 \end{cases} $$ Эта система не имеет решений, так как не существует такого числа, квадрат которого был бы одновременно больше 5 и меньше 3.

Ответ: нет решений.

б)

Решим неравенство $\sqrt{x^4 - 3x^2 + 4} > x^2 - 5$.

Неравенство вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$ равносильно совокупности двух систем: $$ \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases} \\ \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) > (g(x))^2 \end{cases} \end{array} \right. $$

Как было установлено в пункте а), выражение $f(x) = x^4 - 3x^2 + 4$ всегда положительно, поэтому условие $f(x) \ge 0$ выполняется для любого $x$.

Рассмотрим первую систему (случай 1): $$ \begin{cases} x^2 - 5 < 0 \\ x^4 - 3x^2 + 4 \ge 0 \end{cases} $$ $x^2 < 5 \implies -\sqrt{5} < x < \sqrt{5}$. Второе неравенство, как мы знаем, верно для всех $x$. Решение первой системы: $x \in (-\sqrt{5}, \sqrt{5})$.

Рассмотрим вторую систему (случай 2): $$ \begin{cases} x^2 - 5 \ge 0 \\ x^4 - 3x^2 + 4 > (x^2 - 5)^2 \end{cases} $$ Решим первое неравенство: $x^2 \ge 5 \implies x \in (-\infty, -\sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}, \infty)$.

Решим второе неравенство (аналогично пункту а)): $x^4 - 3x^2 + 4 > x^4 - 10x^2 + 25$ $7x^2 > 21$ $x^2 > 3 \implies x \in (-\infty, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$.

Найдем пересечение решений для второй системы: $(x \in (-\infty, -\sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}, \infty)) \cap (x \in (-\infty, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty))$. Так как $\sqrt{5} > \sqrt{3}$, то если $x^2 \ge 5$, то $x^2$ автоматически больше 3. Следовательно, решением второй системы является $x^2 \ge 5$, то есть $x \in (-\infty, -\sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}, \infty)$.

Общее решение исходного неравенства является объединением решений обеих систем: $(-\sqrt{5}, \sqrt{5}) \cup ((-\infty, -\sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}, \infty))$. Объединение этих множеств дает всю числовую прямую.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

30.49. a) $\frac{\sqrt{17 - 15x - 2x^2}}{x + 3} > 0;$

б) $\frac{\sqrt{14 - 11x - 3x^2}}{x + 3} \leq 0;$

В) $\frac{\sqrt{10 - 7x + x^2}}{x - 1} > 0;$

Г) $\frac{\sqrt{12 + 8x + x^2}}{x + 5} \leq 0.$

а) Решим неравенство $\frac{\sqrt{17 - 15x - 2x^2}}{x + 3} > 0$.
Числитель дроби, $\sqrt{17 - 15x - 2x^2}$, является арифметическим квадратным корнем, поэтому он всегда неотрицателен (больше или равен нулю).
Поскольку неравенство строгое ($> 0$), то числитель не может быть равен нулю, то есть $\sqrt{17 - 15x - 2x^2} > 0$. Это, в свою очередь, означает, что подкоренное выражение должно быть строго больше нуля: $17 - 15x - 2x^2 > 0$.
Для того чтобы вся дробь была положительной, при положительном числителе знаменатель также должен быть положительным: $x + 3 > 0$.
Таким образом, исходное неравенство равносильно системе неравенств:
$ \begin{cases} 17 - 15x - 2x^2 > 0 \\ x + 3 > 0 \end{cases} $
Решим первое неравенство: $17 - 15x - 2x^2 > 0$. Умножим его на -1 и сменим знак неравенства: $2x^2 + 15x - 17 < 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $2x^2 + 15x - 17 = 0$.
Дискриминант $D = 15^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-17) = 225 + 136 = 361 = 19^2$.
Корни: $x_1 = \frac{-15 - 19}{2 \cdot 2} = \frac{-34}{4} = -8.5$; $x_2 = \frac{-15 + 19}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.
Так как ветви параболы $y = 2x^2 + 15x - 17$ направлены вверх, неравенство $2x^2 + 15x - 17 < 0$ выполняется между корнями, то есть при $x \in (-8.5, 1)$.
Решим второе неравенство системы: $x + 3 > 0 \implies x > -3$.
Найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \in (-8.5, 1)$ и $x > -3$. Пересечением является интервал $(-3, 1)$.
Ответ: $(-3, 1)$.

б) Решим неравенство $\frac{\sqrt{14 - 11x - 3x^2}}{x + 3} \le 0$.
Это неравенство выполняется в двух случаях:
1) Когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
$\sqrt{14 - 11x - 3x^2} = 0 \implies 14 - 11x - 3x^2 = 0$.
$3x^2 + 11x - 14 = 0$.
$D = 11^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-14) = 121 + 168 = 289 = 17^2$.
$x_1 = \frac{-11 - 17}{2 \cdot 3} = \frac{-28}{6} = -\frac{14}{3}$; $x_2 = \frac{-11 + 17}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$.
При этих значениях $x$ знаменатель $x+3$ не равен нулю, значит, $x = -14/3$ и $x = 1$ являются решениями.
2) Когда числитель строго положителен, а знаменатель строго отрицателен.
Это равносильно системе: $ \begin{cases} 14 - 11x - 3x^2 > 0 \\ x + 3 < 0 \end{cases} $
Решим первое неравенство: $14 - 11x - 3x^2 > 0 \implies 3x^2 + 11x - 14 < 0$.
Корни мы уже нашли: $x_1 = -14/3$ и $x_2 = 1$. Ветви параболы направлены вверх, значит, решение неравенства: $x \in (-14/3, 1)$.
Решим второе неравенство: $x + 3 < 0 \implies x < -3$.
Найдем пересечение решений: $x \in (-14/3, 1)$ и $x < -3$. Так как $-14/3 \approx -4.67$, пересечением является интервал $(-14/3, -3)$.
Объединим решения из обоих случаев: точки $x = -14/3$, $x=1$ и интервал $(-14/3, -3)$.
Получаем $[-14/3, -3) \cup \{1\}$.
Ответ: $[-\frac{14}{3}, -3) \cup \{1\}$.

в) Решим неравенство $\frac{\sqrt{10 - 7x + x^2}}{x - 1} > 0$.
По аналогии с пунктом а), числитель и знаменатель должны быть строго положительными.
Это равносильно системе: $ \begin{cases} 10 - 7x + x^2 > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases} $
Решим первое неравенство: $x^2 - 7x + 10 > 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 7x + 10 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$, $x_2 = 5$.
Ветви параболы $y = x^2 - 7x + 10$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями: $x \in (-\infty, 2) \cup (5, \infty)$.
Решим второе неравенство: $x - 1 > 0 \implies x > 1$.
Найдем пересечение множеств $(-\infty, 2) \cup (5, \infty)$ и $(1, \infty)$.
Пересечение $(-\infty, 2)$ с $(1, \infty)$ дает $(1, 2)$.
Пересечение $(5, \infty)$ с $(1, \infty)$ дает $(5, \infty)$.
Объединяя эти результаты, получаем итоговое решение.
Ответ: $(1, 2) \cup (5, \infty)$.

г) Решим неравенство $\frac{\sqrt{12 + 8x + x^2}}{x + 5} \le 0$.
По аналогии с пунктом б), неравенство выполняется в двух случаях:
1) Числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
$\sqrt{12 + 8x + x^2} = 0 \implies x^2 + 8x + 12 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = -6$, $x_2 = -2$.
Знаменатель $x+5$ не равен нулю при этих значениях $x$, поэтому $x = -6$ и $x = -2$ являются решениями.
2) Числитель строго положителен, а знаменатель строго отрицателен.
Это равносильно системе: $ \begin{cases} 12 + 8x + x^2 > 0 \\ x + 5 < 0 \end{cases} $
Решим первое неравенство: $x^2 + 8x + 12 > 0$.
Корни мы уже нашли: $x_1 = -6$ и $x_2 = -2$. Ветви параболы направлены вверх, значит, решение неравенства: $x \in (-\infty, -6) \cup (-2, \infty)$.
Решим второе неравенство: $x + 5 < 0 \implies x < -5$.
Найдем пересечение решений: $x \in ((-\infty, -6) \cup (-2, \infty))$ и $x < -5$.
Пересечением является интервал $(-\infty, -6)$.
Объединим решения из обоих случаев: точки $x = -6$, $x = -2$ и интервал $(-\infty, -6)$.
Получаем $(-\infty, -6] \cup \{-2\}$.
Ответ: $(-\infty, -6] \cup \{-2\}$.

30.50. a) $\sqrt{3x + 1} + \sqrt{x - 4} - \sqrt{4x + 5} < 0;$

б) $2\sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1} - 2\sqrt{x - 3} > 0;$

в) $2\sqrt{2x - 7} - \sqrt{x - 4} \ge 2\sqrt{x - 3};$

г) $\sqrt{6 - x} + \sqrt{3x - 5} \le \sqrt{4x + 1}.$

a) $\sqrt{3x + 1} + \sqrt{x - 4} - \sqrt{4x + 5} < 0$

Перепишем неравенство в виде $\sqrt{3x + 1} + \sqrt{x - 4} < \sqrt{4x + 5}$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Все подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} 3x + 1 \ge 0 \\ x - 4 \ge 0 \\ 4x + 5 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -1/3 \\ x \ge 4 \\ x \ge -5/4 \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x \ge 4$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [4, +\infty)$.

2. В области допустимых значений обе части неравенства $\sqrt{3x + 1} + \sqrt{x - 4} < \sqrt{4x + 5}$ неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат:

$(\sqrt{3x + 1} + \sqrt{x - 4})^2 < (\sqrt{4x + 5})^2$

$(3x + 1) + 2\sqrt{(3x + 1)(x - 4)} + (x - 4) < 4x + 5$

$4x - 3 + 2\sqrt{3x^2 - 12x + x - 4} < 4x + 5$

$4x - 3 + 2\sqrt{3x^2 - 11x - 4} < 4x + 5$

$2\sqrt{3x^2 - 11x - 4} < 8$

$\sqrt{3x^2 - 11x - 4} < 4$

3. Снова возведем в квадрат обе части (они неотрицательны):

$3x^2 - 11x - 4 < 16$

$3x^2 - 11x - 20 < 0$

4. Решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $3x^2 - 11x - 20 = 0$.

Дискриминант $D = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20) = 121 + 240 = 361 = 19^2$.

$x_1 = \frac{11 - 19}{6} = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3}$

$x_2 = \frac{11 + 19}{6} = \frac{30}{6} = 5$

Так как ветви параболы $y = 3x^2 - 11x - 20$ направлены вверх, неравенство $3x^2 - 11x - 20 < 0$ выполняется между корнями: $x \in (-4/3, 5)$.

5. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$x \in (-4/3, 5) \cap [4, +\infty)$

Результатом является интервал $[4, 5)$.

Ответ: $[4, 5)$.

б) $2\sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1} - 2\sqrt{x - 3} > 0$

Перепишем неравенство в виде $2\sqrt{x + 1} > \sqrt{x - 1} + 2\sqrt{x - 3}$.

1. Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x + 1 \ge 0 \\ x - 1 \ge 0 \\ x - 3 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -1 \\ x \ge 1 \\ x \ge 3 \end{cases}$

ОДЗ: $x \in [3, +\infty)$.

2. В ОДЗ обе части неравенства неотрицательны, возведем их в квадрат:

$(2\sqrt{x + 1})^2 > (\sqrt{x - 1} + 2\sqrt{x - 3})^2$

$4(x + 1) > (x - 1) + 4\sqrt{(x - 1)(x - 3)} + 4(x - 3)$

$4x + 4 > x - 1 + 4\sqrt{x^2 - 4x + 3} + 4x - 12$

$4x + 4 > 5x - 13 + 4\sqrt{x^2 - 4x + 3}$

$17 - x > 4\sqrt{x^2 - 4x + 3}$

3. Для дальнейшего решения левая часть должна быть положительной, так как правая часть (арифметический корень, умноженный на 4) неотрицательна. Если $17 - x \le 0$, то неравенство не имеет решений.

$17 - x > 0 \Rightarrow x < 17$.

С учетом этого условия, возведем обе части в квадрат:

$(17 - x)^2 > (4\sqrt{x^2 - 4x + 3})^2$

$289 - 34x + x^2 > 16(x^2 - 4x + 3)$

$289 - 34x + x^2 > 16x^2 - 64x + 48$

$0 > 15x^2 - 30x - 241$

$15x^2 - 30x - 241 < 0$

4. Решим квадратное неравенство. Найдем корни $15x^2 - 30x - 241 = 0$.

$D/4 = (-15)^2 - 15 \cdot (-241) = 225 + 3615 = 3840 = 256 \cdot 15$.

$x_{1,2} = \frac{15 \pm \sqrt{3840}}{15} = \frac{15 \pm 16\sqrt{15}}{15} = 1 \pm \frac{16\sqrt{15}}{15}$.

$x_1 = 1 - \frac{16\sqrt{15}}{15}$, $x_2 = 1 + \frac{16\sqrt{15}}{15}$.

Неравенство выполняется между корнями: $x \in (1 - \frac{16\sqrt{15}}{15}, 1 + \frac{16\sqrt{15}}{15})$.

5. Объединим все условия: ОДЗ $x \ge 3$, условие $x < 17$ и решение квадратного неравенства.

$\sqrt{15} \approx 3.87$, поэтому $1 + \frac{16\sqrt{15}}{15} \approx 1 + \frac{16 \cdot 3.87}{15} \approx 1 + 4.13 = 5.13$.

$1 - \frac{16\sqrt{15}}{15} \approx 1 - 4.13 = -3.13$.

Ищем пересечение: $x \in [3, +\infty) \cap (-\infty, 17) \cap (1 - \frac{16\sqrt{15}}{15}, 1 + \frac{16\sqrt{15}}{15})$.

Это равносильно $x \in [3, 1 + \frac{16\sqrt{15}}{15})$.

Ответ: $[3, 1 + \frac{16\sqrt{15}}{15})$.

в) $2\sqrt{2x - 7} - \sqrt{x - 4} \ge 2\sqrt{x - 3}$

Перепишем неравенство: $2\sqrt{2x - 7} \ge \sqrt{x - 4} + 2\sqrt{x - 3}$.

1. Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 2x - 7 \ge 0 \\ x - 4 \ge 0 \\ x - 3 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge 3.5 \\ x \ge 4 \\ x \ge 3 \end{cases}$

ОДЗ: $x \in [4, +\infty)$.

2. В ОДЗ обе части неравенства неотрицательны. Возведем в квадрат:

$(2\sqrt{2x - 7})^2 \ge (\sqrt{x - 4} + 2\sqrt{x - 3})^2$

$4(2x - 7) \ge (x - 4) + 4\sqrt{(x - 4)(x - 3)} + 4(x - 3)$

$8x - 28 \ge x - 4 + 4\sqrt{x^2 - 7x + 12} + 4x - 12$

$8x - 28 \ge 5x - 16 + 4\sqrt{x^2 - 7x + 12}$

$3x - 12 \ge 4\sqrt{x^2 - 7x + 12}$

3. В ОДЗ ($x \ge 4$) левая часть $3x - 12 = 3(x-4)$ неотрицательна. Поэтому можно снова возвести в квадрат:

$(3x - 12)^2 \ge (4\sqrt{x^2 - 7x + 12})^2$

$9(x - 4)^2 \ge 16(x^2 - 7x + 12)$

$9(x^2 - 8x + 16) \ge 16x^2 - 112x + 192$

$9x^2 - 72x + 144 \ge 16x^2 - 112x + 192$

$0 \ge 7x^2 - 40x + 48$

$7x^2 - 40x + 48 \le 0$

4. Решим квадратное неравенство. Найдем корни $7x^2 - 40x + 48 = 0$.

$D = (-40)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 48 = 1600 - 1344 = 256 = 16^2$.

$x_1 = \frac{40 - 16}{14} = \frac{24}{14} = \frac{12}{7}$

$x_2 = \frac{40 + 16}{14} = \frac{56}{14} = 4$

Неравенство $7x^2 - 40x + 48 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $x \in [12/7, 4]$.

5. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$x \in [12/7, 4] \cap [4, +\infty)$

Пересечением является единственная точка $x=4$.

Ответ: $\{4\}$.

г) $\sqrt{6 - x} + \sqrt{3x - 5} \le \sqrt{4x + 1}$

1. Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 6 - x \ge 0 \\ 3x - 5 \ge 0 \\ 4x + 1 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \le 6 \\ x \ge 5/3 \\ x \ge -1/4 \end{cases}$

ОДЗ: $x \in [5/3, 6]$.

2. В ОДЗ обе части неравенства неотрицательны, возведем в квадрат:

$(\sqrt{6 - x} + \sqrt{3x - 5})^2 \le (\sqrt{4x + 1})^2$

$(6 - x) + 2\sqrt{(6 - x)(3x - 5)} + (3x - 5) \le 4x + 1$

$2x + 1 + 2\sqrt{-3x^2 + 18x + 5x - 30} \le 4x + 1$

$2\sqrt{-3x^2 + 23x - 30} \le 2x$

$\sqrt{-3x^2 + 23x - 30} \le x$

3. В ОДЗ $x \in [5/3, 6]$, правая часть $x$ всегда положительна. Поэтому можем возвести в квадрат:

$-3x^2 + 23x - 30 \le x^2$

$0 \le 4x^2 - 23x + 30$

$4x^2 - 23x + 30 \ge 0$

4. Решим квадратное неравенство. Найдем корни $4x^2 - 23x + 30 = 0$.

$D = (-23)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 30 = 529 - 480 = 49 = 7^2$.

$x_1 = \frac{23 - 7}{8} = \frac{16}{8} = 2$

$x_2 = \frac{23 + 7}{8} = \frac{30}{8} = \frac{15}{4}$

Неравенство $4x^2 - 23x + 30 \ge 0$ выполняется вне отрезка между корнями: $x \in (-\infty, 2] \cup [15/4, +\infty)$.

5. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ $x \in [5/3, 6]$:

$([5/3, 6]) \cap ((-\infty, 2] \cup [15/4, +\infty))$

$([5/3, 6] \cap (-\infty, 2]) \cup ([5/3, 6] \cap [15/4, +\infty))$

Так как $5/3 \approx 1.67$ и $15/4 = 3.75$:

$[5/3, 2] \cup [15/4, 6]$

Ответ: $[5/3, 2] \cup [15/4, 6]$.