Страница 192, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Решите уравнение:

30.16. a) $\sqrt{x + 3} + \sqrt{5 - x} = 4;$

б) $\sqrt{3x + 16} - 2\sqrt{x - 2} = 3;$

в) $\sqrt{2x + 6} + \sqrt{8 - x} = 5;$

г) $5\sqrt{3 - x} - 2\sqrt{x + 10} = 4.$

а) Исходное уравнение: $\sqrt{x + 3} + \sqrt{5 - x} = 4$. Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), для которой оба подкоренных выражения неотрицательны. Из условия $x + 3 \ge 0$ следует, что $x \ge -3$. Из условия $5 - x \ge 0$ следует, что $x \le 5$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [-3; 5]$. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от одного из корней: $(\sqrt{x + 3} + \sqrt{5 - x})^2 = 4^2$ $(x + 3) + 2\sqrt{(x + 3)(5 - x)} + (5 - x) = 16$ Упростим полученное выражение: $x + 3 + 5 - x + 2\sqrt{15 - 3x + 5x - x^2} = 16$ $8 + 2\sqrt{-x^2 + 2x + 15} = 16$ Уединим оставшийся радикал: $2\sqrt{-x^2 + 2x + 15} = 16 - 8$ $2\sqrt{-x^2 + 2x + 15} = 8$ $\sqrt{-x^2 + 2x + 15} = 4$ Снова возведем обе части в квадрат: $-x^2 + 2x + 15 = 16$ Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $-x^2 + 2x - 1 = 0$ $x^2 - 2x + 1 = 0$ Свернем левую часть по формуле квадрата разности: $(x - 1)^2 = 0$ Отсюда находим корень: $x = 1$. Проверим, принадлежит ли найденный корень ОДЗ. Так как $1 \in [-3; 5]$, корень подходит.
Ответ: $1$.

б) Исходное уравнение: $\sqrt{3x + 16} - 2\sqrt{x - 2} = 3$. Найдем ОДЗ: $3x + 16 \ge 0 \implies 3x \ge -16 \implies x \ge -16/3$. $x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$. Объединив условия, получаем ОДЗ: $x \in [2; +\infty)$. Уединим один из радикалов для удобства возведения в квадрат: $\sqrt{3x + 16} = 3 + 2\sqrt{x - 2}$ Так как правая часть уравнения при $x \ge 2$ всегда положительна, можно возводить в квадрат без появления посторонних корней на этом шаге. $(\sqrt{3x + 16})^2 = (3 + 2\sqrt{x - 2})^2$ $3x + 16 = 9 + 2 \cdot 3 \cdot 2\sqrt{x - 2} + (2\sqrt{x - 2})^2$ $3x + 16 = 9 + 12\sqrt{x - 2} + 4(x - 2)$ $3x + 16 = 9 + 12\sqrt{x - 2} + 4x - 8$ $3x + 16 = 4x + 1 + 12\sqrt{x - 2}$ Уединим оставшийся радикал: $16 - 1 - 4x + 3x = 12\sqrt{x - 2}$ $15 - x = 12\sqrt{x - 2}$ Для следующего возведения в квадрат нужно, чтобы обе части были неотрицательны. Правая часть неотрицательна, значит и левая должна быть: $15 - x \ge 0 \implies x \le 15$. С учетом ОДЗ получаем новое ограничение для корней: $x \in [2; 15]$. Возводим в квадрат: $(15 - x)^2 = (12\sqrt{x - 2})^2$ $225 - 30x + x^2 = 144(x - 2)$ $x^2 - 30x + 225 = 144x - 288$ $x^2 - 174x + 513 = 0$ Решаем квадратное уравнение через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-174)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 513 = 30276 - 2052 = 28224 = 168^2$. $x_1 = \frac{174 + 168}{2} = \frac{342}{2} = 171$. $x_2 = \frac{174 - 168}{2} = \frac{6}{2} = 3$. Проверяем корни по ограничению $x \in [2; 15]$. Корень $x_1 = 171$ не удовлетворяет условию $x \le 15$, значит это посторонний корень. Корень $x_2 = 3$ удовлетворяет всем условиям.
Ответ: $3$.

в) Исходное уравнение: $\sqrt{2x + 6} + \sqrt{8 - x} = 5$. Найдем ОДЗ: $2x + 6 \ge 0 \implies 2x \ge -6 \implies x \ge -3$. $8 - x \ge 0 \implies x \le 8$. ОДЗ: $x \in [-3; 8]$. Возведем обе части уравнения в квадрат: $(\sqrt{2x + 6} + \sqrt{8 - x})^2 = 5^2$ $(2x + 6) + 2\sqrt{(2x + 6)(8 - x)} + (8 - x) = 25$ $x + 14 + 2\sqrt{-2x^2 + 16x - 6x + 48} = 25$ $x + 14 + 2\sqrt{-2x^2 + 10x + 48} = 25$ $2\sqrt{-2x^2 + 10x + 48} = 11 - x$ Для возведения в квадрат необходимо, чтобы $11 - x \ge 0$, то есть $x \le 11$. Это условие не сужает нашу ОДЗ $x \in [-3; 8]$. Возводим в квадрат еще раз: $(2\sqrt{-2x^2 + 10x + 48})^2 = (11 - x)^2$ $4(-2x^2 + 10x + 48) = 121 - 22x + x^2$ $-8x^2 + 40x + 192 = 121 - 22x + x^2$ $9x^2 - 62x - 71 = 0$ Решаем квадратное уравнение: $D = (-62)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-71) = 3844 + 2556 = 6400 = 80^2$. $x_1 = \frac{62 + 80}{2 \cdot 9} = \frac{142}{18} = \frac{71}{9}$. $x_2 = \frac{62 - 80}{2 \cdot 9} = \frac{-18}{18} = -1$. Проверяем корни по ОДЗ $x \in [-3; 8]$. Оба корня подходят, так как $71/9 = 7 \frac{8}{9}$.
Ответ: $-1; \frac{71}{9}$.

г) Исходное уравнение: $5\sqrt{3 - x} - 2\sqrt{x + 10} = 4$. Найдем ОДЗ: $3 - x \ge 0 \implies x \le 3$. $x + 10 \ge 0 \implies x \ge -10$. ОДЗ: $x \in [-10; 3]$. Применим метод введения новых переменных. Пусть $u = \sqrt{3 - x}$ и $v = \sqrt{x + 10}$. Учтем, что $u \ge 0$ и $v \ge 0$. Исходное уравнение примет вид: $5u - 2v = 4$. Найдем связь между $u^2$ и $v^2$: $u^2 = 3 - x$ $v^2 = x + 10$ Сложим эти два равенства: $u^2 + v^2 = (3 - x) + (x + 10) = 13$. Получили систему уравнений: $\begin{cases} 5u - 2v = 4 \\ u^2 + v^2 = 13 \end{cases}$ Из первого уравнения выразим $v$: $2v = 5u - 4 \implies v = \frac{5u - 4}{2}$. Так как $v \ge 0$, то $5u - 4 \ge 0$, откуда $u \ge \frac{4}{5}$. Подставим выражение для $v$ во второе уравнение: $u^2 + \left(\frac{5u - 4}{2}\right)^2 = 13$ $u^2 + \frac{25u^2 - 40u + 16}{4} = 13$ Умножим все уравнение на 4: $4u^2 + 25u^2 - 40u + 16 = 52$. $29u^2 - 40u - 36 = 0$. Решим квадратное уравнение относительно $u$: $D = (-40)^2 - 4 \cdot 29 \cdot (-36) = 1600 + 4176 = 5776 = 76^2$. $u_1 = \frac{40 + 76}{2 \cdot 29} = \frac{116}{58} = 2$. $u_2 = \frac{40 - 76}{2 \cdot 29} = \frac{-36}{58} = -\frac{18}{29}$. Учитывая условия $u \ge 0$ и $u \ge \frac{4}{5}$, корень $u_2$ является посторонним. Остается $u = 2$. Выполним обратную замену: $\sqrt{3 - x} = 2$. Возводим в квадрат: $3 - x = 4 \implies x = -1$. Проверяем, принадлежит ли корень ОДЗ. $-1 \in [-10; 3]$, следовательно, корень подходит.
Ответ: $-1$.

30.17. a) $\sqrt{x + 1} - \sqrt{9 - x} = \sqrt{2x - 12}$;

б) $\sqrt{x} - \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 9} - \sqrt{x + 4} = 0$;

в) $\sqrt{2x + 5} + \sqrt{5x + 6} = \sqrt{12x + 25}$;

г) $\sqrt{5 + \sqrt[3]{x}} + \sqrt{5 - \sqrt[3]{x}} = \sqrt[3]{x}$.

а) $\sqrt{x+1} - \sqrt{9-x} = \sqrt{2x-12}$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:
1. $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$
2. $9-x \ge 0 \implies x \le 9$
3. $2x-12 \ge 0 \implies 2x \ge 12 \implies x \ge 6$
Кроме того, так как правая часть уравнения (арифметический квадратный корень) неотрицательна, то и левая часть должна быть неотрицательной:
$\sqrt{x+1} - \sqrt{9-x} \ge 0 \implies \sqrt{x+1} \ge \sqrt{9-x} \implies x+1 \ge 9-x \implies 2x \ge 8 \implies x \ge 4$.
Объединяя все условия ($x \ge -1, x \le 9, x \ge 6, x \ge 4$), получаем ОДЗ: $x \in [6, 9]$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x+1} - \sqrt{9-x})^2 = (\sqrt{2x-12})^2$
$(x+1) - 2\sqrt{(x+1)(9-x)} + (9-x) = 2x-12$
$10 - 2\sqrt{-x^2+8x+9} = 2x-12$
$22 - 2x = 2\sqrt{-x^2+8x+9}$
$11 - x = \sqrt{-x^2+8x+9}$
Для того чтобы снова возвести в квадрат, левая часть должна быть неотрицательной: $11-x \ge 0 \implies x \le 11$. Это условие выполняется для всех $x$ из ОДЗ.
Возводим в квадрат:
$(11-x)^2 = -x^2+8x+9$
$121 - 22x + x^2 = -x^2+8x+9$
$2x^2 - 30x + 112 = 0$
$x^2 - 15x + 56 = 0$
По теореме Виета находим корни: $x_1 = 7, x_2 = 8$.
Оба корня принадлежат ОДЗ $[6, 9]$. Выполним проверку.
Для $x=7: \sqrt{7+1} - \sqrt{9-7} = \sqrt{8}-\sqrt{2} = 2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}$. Правая часть: $\sqrt{2(7)-12} = \sqrt{14-12} = \sqrt{2}$. Равенство верно.
Для $x=8: \sqrt{8+1} - \sqrt{9-8} = \sqrt{9}-\sqrt{1} = 3-1=2$. Правая часть: $\sqrt{2(8)-12} = \sqrt{16-12} = \sqrt{4} = 2$. Равенство верно.
Ответ: $7; 8$.

б) $\sqrt{x} - \sqrt{x+1} + \sqrt{x+9} - \sqrt{x+4} = 0$
Перенесем слагаемые так, чтобы в обеих частях уравнения стояли суммы:
$\sqrt{x} + \sqrt{x+9} = \sqrt{x+1} + \sqrt{x+4}$
Найдем ОДЗ. Необходимо, чтобы все подкоренные выражения были неотрицательны: $x \ge 0, x+1 \ge 0, x+9 \ge 0, x+4 \ge 0$. Наиболее сильным из этих условий является $x \ge 0$. Таким образом, ОДЗ: $x \ge 0$.
На ОДЗ обе части уравнения неотрицательны, поэтому можно возвести их в квадрат:
$(\sqrt{x} + \sqrt{x+9})^2 = (\sqrt{x+1} + \sqrt{x+4})^2$
$x + 2\sqrt{x(x+9)} + x+9 = x+1 + 2\sqrt{(x+1)(x+4)} + x+4$
$2x + 9 + 2\sqrt{x^2+9x} = 2x + 5 + 2\sqrt{x^2+5x+4}$
$4 + 2\sqrt{x^2+9x} = 2\sqrt{x^2+5x+4}$
$2 + \sqrt{x^2+9x} = \sqrt{x^2+5x+4}$
Снова возводим в квадрат:
$(2 + \sqrt{x^2+9x})^2 = x^2+5x+4$
$4 + 4\sqrt{x^2+9x} + (x^2+9x) = x^2+5x+4$
$4\sqrt{x^2+9x} + 4x = 0$
$\sqrt{x^2+9x} + x = 0$
$\sqrt{x^2+9x} = -x$
Левая часть этого уравнения неотрицательна, значит и правая должна быть неотрицательной: $-x \ge 0$, что означает $x \le 0$.
Учитывая ОДЗ ($x \ge 0$), единственным значением, удовлетворяющим обоим условиям, является $x=0$.
Проверим $x=0$ подстановкой в исходное уравнение: $\sqrt{0} - \sqrt{0+1} + \sqrt{0+9} - \sqrt{0+4} = 0 - 1 + 3 - 2 = 0$. Равенство верно.
Ответ: $0$.

в) $\sqrt{2x+5} + \sqrt{5x+6} = \sqrt{12x+25}$
Найдем ОДЗ: $2x+5 \ge 0 \implies x \ge -2.5$; $5x+6 \ge 0 \implies x \ge -1.2$; $12x+25 \ge 0 \implies x \ge -25/12 \approx -2.08$.
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge -1.2$.
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{2x+5} + \sqrt{5x+6})^2 = (\sqrt{12x+25})^2$
$(2x+5) + 2\sqrt{(2x+5)(5x+6)} + (5x+6) = 12x+25$
$7x+11 + 2\sqrt{10x^2+37x+30} = 12x+25$
$2\sqrt{10x^2+37x+30} = 5x+14$
Прежде чем снова возводить в квадрат, отметим, что правая часть должна быть неотрицательной: $5x+14 \ge 0 \implies x \ge -2.8$. Это условие выполняется на всей ОДЗ.
Возводим в квадрат:
$4(10x^2+37x+30) = (5x+14)^2$
$40x^2+148x+120 = 25x^2+140x+196$
$15x^2+8x-76 = 0$
Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4(15)(-76) = 64 + 4560 = 4624 = 68^2$.
$x_1 = \frac{-8+68}{2 \cdot 15} = \frac{60}{30} = 2$.
$x_2 = \frac{-8-68}{2 \cdot 15} = \frac{-76}{30} = -\frac{38}{15} \approx -2.53$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge -1.2$).
$x_1 = 2$ подходит ($2 \ge -1.2$).
$x_2 = -38/15$ не подходит, так как $-38/15 < -1.2$.
Проверим корень $x=2$ подстановкой в исходное уравнение:
Левая часть: $\sqrt{2(2)+5} + \sqrt{5(2)+6} = \sqrt{9} + \sqrt{16} = 3+4=7$.
Правая часть: $\sqrt{12(2)+25} = \sqrt{24+25} = \sqrt{49} = 7$.
$7=7$. Равенство верно.
Ответ: $2$.

г) $\sqrt{5 + \sqrt[3]{x}} + \sqrt{5 - \sqrt[3]{x}} = \sqrt[3]{x}$
Сделаем замену переменной: пусть $y = \sqrt[3]{x}$. Тогда уравнение примет вид:
$\sqrt{5+y} + \sqrt{5-y} = y$
Найдем ОДЗ для $y$:
1. $5+y \ge 0 \implies y \ge -5$.
2. $5-y \ge 0 \implies y \le 5$.
3. Левая часть уравнения (сумма арифметических корней) неотрицательна, значит $y \ge 0$.
Общая ОДЗ для $y$: $y \in [0, 5]$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{5+y} + \sqrt{5-y})^2 = y^2$
$(5+y) + 2\sqrt{(5+y)(5-y)} + (5-y) = y^2$
$10 + 2\sqrt{25-y^2} = y^2$
$2\sqrt{25-y^2} = y^2 - 10$
Для возведения в квадрат правая часть должна быть неотрицательной: $y^2 - 10 \ge 0 \implies y^2 \ge 10$.
Учитывая ОДЗ $y \in [0, 5]$, получаем новое, более сильное ограничение: $y \in [\sqrt{10}, 5]$.
Возводим в квадрат:
$4(25-y^2) = (y^2 - 10)^2$
$100 - 4y^2 = y^4 - 20y^2 + 100$
$y^4 - 16y^2 = 0$
$y^2(y^2-16) = 0$
Отсюда $y^2=0$ (т.е. $y=0$) или $y^2=16$ (т.е. $y=\pm 4$).
Проверим найденные значения $y$ на принадлежность отрезку $[\sqrt{10}, 5]$ (учитывая, что $\sqrt{10} \approx 3.16$).
$y=0$ не принадлежит отрезку.
$y=-4$ не принадлежит отрезку.
$y=4$ принадлежит отрезку, так как $\sqrt{10} \le 4 \le 5$.
Единственный подходящий корень - это $y=4$.
Выполним обратную замену: $y = \sqrt[3]{x} \implies \sqrt[3]{x} = 4 \implies x = 4^3 = 64$.
Проверка: $\sqrt{5 + \sqrt[3]{64}} + \sqrt{5 - \sqrt[3]{64}} = \sqrt{5+4} + \sqrt{5-4} = \sqrt{9}+\sqrt{1} = 3+1=4$. Правая часть: $\sqrt[3]{64}=4$. Равенство $4=4$ верно.
Ответ: $64$.

30.18. a) $\sqrt{3x^2 - 2x + 15} + \sqrt{3x^2 - 2x + 8} = 7;$

б) $\sqrt{x^2 + x + 4} + \sqrt{x^2 + x + 1} = \sqrt{2x^2 + 2x + 9};$

в) $\sqrt{x^2 - 3x + 3} + \sqrt{x^2 - 3x + 6} = 3;$

г) $\sqrt{x^2 + x + 7} + \sqrt{x^2 + x + 2} = \sqrt{3x^2 + 3x + 19}.$

а) $ \sqrt{3x^2 - 2x + 15} + \sqrt{3x^2 - 2x + 8} = 7 $
Данное иррациональное уравнение решается методом введения новой переменной. Заметим, что в обоих подкоренных выражениях присутствует одинаковая часть $3x^2 - 2x$.
Пусть $ y = 3x^2 - 2x + 8 $. Тогда $ 3x^2 - 2x + 15 = y + 7 $.
Подставим новую переменную в исходное уравнение:
$ \sqrt{y + 7} + \sqrt{y} = 7 $
Область допустимых значений (ОДЗ) для $y$: $y \ge 0$ и $y + 7 \ge 0$, что равносильно $y \ge 0$.
Уединим один из корней:
$ \sqrt{y + 7} = 7 - \sqrt{y} $
Так как левая часть уравнения неотрицательна, то и правая часть должна быть неотрицательна: $7 - \sqrt{y} \ge 0$, откуда $\sqrt{y} \le 7$, что означает $0 \le y \le 49$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$ (\sqrt{y + 7})^2 = (7 - \sqrt{y})^2 $
$ y + 7 = 49 - 14\sqrt{y} + y $
$ 7 = 49 - 14\sqrt{y} $
$ 14\sqrt{y} = 42 $
$ \sqrt{y} = 3 $
$ y = 9 $
Полученное значение $y=9$ удовлетворяет условию $0 \le y \le 49$.
Теперь выполним обратную замену:
$ 3x^2 - 2x + 8 = 9 $
$ 3x^2 - 2x - 1 = 0 $
Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 $
Найдем корни уравнения:
$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 4}{6} = \frac{6}{6} = 1 $
$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 4}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} $
Оба корня являются решениями исходного уравнения.
Ответ: $x = 1; x = -\frac{1}{3}$.

б) $ \sqrt{x^2 + x + 4} + \sqrt{x^2 + x + 1} = \sqrt{2x^2 + 2x + 9} $
Введем замену. Пусть $ y = x^2 + x $. Заметим, что $ 2x^2 + 2x + 9 = 2(x^2 + x) + 9 = 2y + 9 $.
Уравнение принимает вид:
$ \sqrt{y + 4} + \sqrt{y + 1} = \sqrt{2y + 9} $
Найдем ОДЗ для $y$:
$ y + 4 \ge 0 \Rightarrow y \ge -4 $
$ y + 1 \ge 0 \Rightarrow y \ge -1 $
$ 2y + 9 \ge 0 \Rightarrow y \ge -4.5 $
Объединяя условия, получаем $ y \ge -1 $.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$ (\sqrt{y + 4} + \sqrt{y + 1})^2 = (\sqrt{2y + 9})^2 $
$ (y + 4) + 2\sqrt{(y + 4)(y + 1)} + (y + 1) = 2y + 9 $
$ 2y + 5 + 2\sqrt{y^2 + 5y + 4} = 2y + 9 $
$ 2\sqrt{y^2 + 5y + 4} = 4 $
$ \sqrt{y^2 + 5y + 4} = 2 $
Снова возведем в квадрат:
$ y^2 + 5y + 4 = 4 $
$ y^2 + 5y = 0 $
$ y(y + 5) = 0 $
Отсюда $ y_1 = 0 $ или $ y_2 = -5 $.
Проверим найденные значения по ОДЗ ($y \ge -1$).
$ y_1 = 0 $ удовлетворяет условию.
$ y_2 = -5 $ не удовлетворяет условию.
Следовательно, единственное решение для $y$ - это $y = 0$.
Выполним обратную замену:
$ x^2 + x = 0 $
$ x(x + 1) = 0 $
$ x_1 = 0 $, $ x_2 = -1 $
Оба корня являются решениями.
Ответ: $x = 0; x = -1$.

в) $ \sqrt{x^2 - 3x + 3} + \sqrt{x^2 - 3x + 6} = 3 $
Сделаем замену. Пусть $ y = x^2 - 3x + 3 $. Тогда $ x^2 - 3x + 6 = y + 3 $.
Уравнение примет вид:
$ \sqrt{y} + \sqrt{y + 3} = 3 $
ОДЗ для $y$: $y \ge 0$ и $y + 3 \ge 0$, откуда $y \ge 0$.
Уединим один из корней:
$ \sqrt{y + 3} = 3 - \sqrt{y} $
Правая часть должна быть неотрицательна: $3 - \sqrt{y} \ge 0 \Rightarrow \sqrt{y} \le 3 \Rightarrow 0 \le y \le 9$.
Возведем обе части в квадрат:
$ y + 3 = (3 - \sqrt{y})^2 $
$ y + 3 = 9 - 6\sqrt{y} + y $
$ 3 = 9 - 6\sqrt{y} $
$ 6\sqrt{y} = 6 $
$ \sqrt{y} = 1 $
$ y = 1 $
Это значение удовлетворяет условию $0 \le y \le 9$.
Выполним обратную замену:
$ x^2 - 3x + 3 = 1 $
$ x^2 - 3x + 2 = 0 $
По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно 2. Корни:
$ x_1 = 1 $, $ x_2 = 2 $
Оба корня являются решениями.
Ответ: $x = 1; x = 2$.

г) $ \sqrt{x^2 + x + 7} + \sqrt{x^2 + x + 2} = \sqrt{3x^2 + 3x + 19} $
Введем замену. Пусть $ y = x^2 + x $. Заметим, что $ 3x^2 + 3x + 19 = 3(x^2 + x) + 19 = 3y + 19 $.
Уравнение принимает вид:
$ \sqrt{y + 7} + \sqrt{y + 2} = \sqrt{3y + 19} $
Найдем ОДЗ для $y$:
$ y + 7 \ge 0 \Rightarrow y \ge -7 $
$ y + 2 \ge 0 \Rightarrow y \ge -2 $
$ 3y + 19 \ge 0 \Rightarrow y \ge -19/3 \approx -6.33 $
Общее условие: $ y \ge -2 $.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$ (\sqrt{y + 7} + \sqrt{y + 2})^2 = (\sqrt{3y + 19})^2 $
$ (y + 7) + 2\sqrt{(y + 7)(y + 2)} + (y + 2) = 3y + 19 $
$ 2y + 9 + 2\sqrt{y^2 + 9y + 14} = 3y + 19 $
$ 2\sqrt{y^2 + 9y + 14} = y + 10 $
Правая часть должна быть неотрицательной: $y + 10 \ge 0 \Rightarrow y \ge -10$. Это условие выполняется при $y \ge -2$.
Снова возведем в квадрат:
$ (2\sqrt{y^2 + 9y + 14})^2 = (y + 10)^2 $
$ 4(y^2 + 9y + 14) = y^2 + 20y + 100 $
$ 4y^2 + 36y + 56 = y^2 + 20y + 100 $
$ 3y^2 + 16y - 44 = 0 $
Решим квадратное уравнение относительно $y$. Дискриминант:
$ D = 16^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-44) = 256 + 528 = 784 = 28^2 $
$ y_1 = \frac{-16 + 28}{6} = \frac{12}{6} = 2 $
$ y_2 = \frac{-16 - 28}{6} = \frac{-44}{6} = -\frac{22}{3} $
Проверим найденные значения по ОДЗ ($y \ge -2$).
$ y_1 = 2 $ удовлетворяет условию.
$ y_2 = -22/3 \approx -7.33 $ не удовлетворяет условию.
Единственное решение для $y$ - это $y = 2$.
Выполним обратную замену:
$ x^2 + x = 2 $
$ x^2 + x - 2 = 0 $
По теореме Виета, сумма корней равна -1, а произведение равно -2. Корни:
$ x_1 = 1 $, $ x_2 = -2 $
Оба корня являются решениями.
Ответ: $x = 1; x = -2$.

30.19. a) $\sqrt{x} = x - 6;$

б) $\sqrt{x^2 + x} = 2(x^2 + x) - 3;$

в) $\sqrt{5 - x} = x + 1;$

г) $x + 13 + \sqrt{18x^2 - x - 1} = 18x^2.$

а) $\sqrt{x} = x - 6$
Определим область допустимых значений (ОДЗ).
1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
2. Правая часть уравнения, равная арифметическому квадратному корню, также должна быть неотрицательной: $x - 6 \ge 0$, откуда $x \ge 6$.
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge 6$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = (x - 6)^2$
$x = x^2 - 12x + 36$
Приведем к стандартному квадратному уравнению:
$x^2 - 13x + 36 = 0$
Найдем корни по теореме Виета: сумма корней равна 13, произведение равно 36. Корни: $x_1 = 4$, $x_2 = 9$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 6$):
$x_1 = 4$ не удовлетворяет условию $x \ge 6$, следовательно, это посторонний корень.
$x_2 = 9$ удовлетворяет условию $x \ge 6$.
Проверка подстановкой в исходное уравнение: $\sqrt{9} = 9 - 6 \implies 3 = 3$. Верно.
Ответ: $9$.

б) $\sqrt{x^2 + x} = 2(x^2 + x) - 3$
Это уравнение содержит повторяющееся выражение $x^2 + x$. Сделаем замену переменной.
Пусть $t = \sqrt{x^2 + x}$. Тогда $t^2 = x^2 + x$. Условие для новой переменной: $t \ge 0$.
Подставим $t$ в исходное уравнение:
$t = 2t^2 - 3$
Перепишем в виде квадратного уравнения:
$2t^2 - t - 3 = 0$
Решим это уравнение относительно $t$ с помощью дискриминанта:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 = 5^2$
$t_1 = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
$t_2 = \frac{1 - 5}{4} = -1$
Проверим корни по условию $t \ge 0$.
$t_1 = \frac{3}{2}$ удовлетворяет условию.
$t_2 = -1$ не удовлетворяет условию, это посторонний корень.
Вернемся к исходной переменной $x$ для $t = \frac{3}{2}$:
$\sqrt{x^2 + x} = \frac{3}{2}$
Возведем обе части в квадрат:
$x^2 + x = (\frac{3}{2})^2$
$x^2 + x = \frac{9}{4}$
$x^2 + x - \frac{9}{4} = 0$
Умножим на 4, чтобы избавиться от дроби:
$4x^2 + 4x - 9 = 0$
Решим это квадратное уравнение:
$D_x = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 16 + 144 = 160$
$x = \frac{-4 \pm \sqrt{160}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 \cdot 10}}{8} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{10}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{10}}{2}$
Проверять ОДЗ ($x^2+x \ge 0$) не требуется, так как мы решали уравнение $x^2+x = \frac{9}{4}$, что заведомо больше нуля.
Ответ: $\frac{-1 \pm \sqrt{10}}{2}$.

в) $\sqrt{5 - x} = x + 1$
Определим ОДЗ:
1. $5 - x \ge 0 \implies x \le 5$.
2. $x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1$.
Итоговая ОДЗ: $-1 \le x \le 5$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{5 - x})^2 = (x + 1)^2$
$5 - x = x^2 + 2x + 1$
Приведем к стандартному виду:
$x^2 + 3x - 4 = 0$
По теореме Виета, корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -4$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($-1 \le x \le 5$):
$x_1 = 1$ принадлежит отрезку $[-1, 5]$, является решением.
$x_2 = -4$ не принадлежит отрезку $[-1, 5]$, является посторонним корнем.
Проверка $x=1$ подстановкой: $\sqrt{5-1} = 1+1 \implies \sqrt{4}=2 \implies 2=2$. Верно.
Ответ: $1$.

г) $x + 13 + \sqrt{18x^2 - x - 1} = 18x^2$
Перенесем слагаемые, чтобы выделить повторяющееся выражение:
$\sqrt{18x^2 - x - 1} = 18x^2 - x - 13$
Выражение справа можно записать так: $(18x^2 - x - 1) - 12$.
Сделаем замену. Пусть $t = \sqrt{18x^2 - x - 1}$, где $t \ge 0$. Тогда $t^2 = 18x^2 - x - 1$.
Уравнение принимает вид:
$t = t^2 - 12$
$t^2 - t - 12 = 0$
По теореме Виета, корни: $t_1 = 4$, $t_2 = -3$.
Условию $t \ge 0$ удовлетворяет только корень $t_1 = 4$.
Выполним обратную замену:
$\sqrt{18x^2 - x - 1} = 4$
Возведем в квадрат:
$18x^2 - x - 1 = 16$
$18x^2 - x - 17 = 0$
Решим это квадратное уравнение:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 18 \cdot (-17) = 1 + 1224 = 1225 = 35^2$
$x_1 = \frac{1 + 35}{2 \cdot 18} = \frac{36}{36} = 1$
$x_2 = \frac{1 - 35}{36} = \frac{-34}{36} = -\frac{17}{18}$
Условия ОДЗ ($18x^2 - x - 1 \ge 0$ и $18x^2-x-13 \ge 0$) выполняются, так как мы решали уравнение $\sqrt{18x^2 - x - 1} = 4$. Левая часть по определению неотрицательна, а правая равна 4.
Ответ: $1; -\frac{17}{18}$.

30.20. а) $\sqrt{\frac{2x + 3}{2x - 1}} + 4 \cdot \sqrt{\frac{2x - 1}{2x + 3}} = 4;$

б) $5 \cdot \sqrt{\frac{x + 3}{5x - 1}} + \sqrt{\frac{5x - 1}{x + 3}} = 6.$

а) $\sqrt{\frac{2x + 3}{2x - 1}} + 4 \cdot \sqrt{\frac{2x - 1}{2x + 3}} = 4$

Данное уравнение является иррациональным. Заметим, что подкоренные выражения являются взаимно обратными. Это позволяет решить уравнение с помощью введения новой переменной.

Пусть $y = \sqrt{\frac{2x + 3}{2x - 1}}$. Поскольку значение квадратного корня не может быть отрицательным, и в данном уравнении $y$ не может быть равен нулю (так как второе слагаемое содержит $\frac{1}{y}$), то $y > 0$.

Тогда второе слагаемое можно выразить через $y$: $\sqrt{\frac{2x - 1}{2x + 3}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{2x + 3}{2x - 1}}} = \frac{1}{y}$.

Подставим $y$ в исходное уравнение:

$y + \frac{4}{y} = 4$

Умножим обе части уравнения на $y$ (помним, что $y \neq 0$):

$y^2 + 4 = 4y$

Перенесем все члены в левую часть и получим квадратное уравнение:

$y^2 - 4y + 4 = 0$

Это полный квадрат разности:

$(y - 2)^2 = 0$

Отсюда $y - 2 = 0$, следовательно, $y = 2$.

Найденное значение $y = 2$ удовлетворяет условию $y > 0$.

Теперь выполним обратную замену:

$\sqrt{\frac{2x + 3}{2x - 1}} = 2$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$\frac{2x + 3}{2x - 1} = 4$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для исходного уравнения. Выражение под корнем должно быть неотрицательным, а знаменатели не должны равняться нулю. Таким образом, $\frac{2x + 3}{2x - 1} > 0$. Решая это неравенство методом интервалов, получаем $x \in (-\infty; -1.5) \cup (0.5; +\infty)$.

Решим уравнение относительно $x$:

$2x + 3 = 4(2x - 1)$

$2x + 3 = 8x - 4$

$7 = 6x$

$x = \frac{7}{6}$

Проверим, входит ли найденный корень в ОДЗ. Так как $\frac{7}{6} \approx 1.17$, а $1.17 > 0.5$, корень принадлежит ОДЗ.

Ответ: $\frac{7}{6}$

б) $5 \cdot \sqrt{\frac{x + 3}{5x - 1}} + \sqrt{\frac{5x - 1}{x + 3}} = 6$

Как и в предыдущем задании, введем замену, так как подкоренные выражения взаимно обратны.

Пусть $y = \sqrt{\frac{x + 3}{5x - 1}}$. Условие для новой переменной: $y > 0$.

Тогда $\sqrt{\frac{5x - 1}{x + 3}} = \frac{1}{y}$.

Запишем уравнение с новой переменной:

$5y + \frac{1}{y} = 6$

Умножим обе части на $y$ ($y \neq 0$):

$5y^2 + 1 = 6y$

Перенесем все в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$5y^2 - 6y + 1 = 0$

Найдем корни этого уравнения через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 - 20 = 16$

$\sqrt{D} = 4$

$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - 4}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + 4}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$

Оба корня $y_1 = \frac{1}{5}$ и $y_2 = 1$ удовлетворяют условию $y > 0$.

Выполним обратную замену для каждого из найденных значений $y$.

Случай 1: $y = \frac{1}{5}$

$\sqrt{\frac{x + 3}{5x - 1}} = \frac{1}{5}$

Возводим в квадрат:

$\frac{x + 3}{5x - 1} = \frac{1}{25}$

$25(x + 3) = 5x - 1$

$25x + 75 = 5x - 1$

$20x = -76$

$x_1 = -\frac{76}{20} = -\frac{19}{5} = -3.8$

Случай 2: $y = 1$

$\sqrt{\frac{x + 3}{5x - 1}} = 1$

Возводим в квадрат:

$\frac{x + 3}{5x - 1} = 1$

$x + 3 = 5x - 1$

$4 = 4x$

$x_2 = 1$

Найдем ОДЗ исходного уравнения: $\frac{x + 3}{5x - 1} > 0$. Решая методом интервалов, получаем $x \in (-\infty; -3) \cup (\frac{1}{5}; +\infty)$.

Проверим найденные корни. $x_1 = -3.8$ принадлежит интервалу $(-\infty; -3)$. $x_2 = 1$ принадлежит интервалу $(\frac{1}{5}; +\infty)$. Оба корня входят в ОДЗ.

Ответ: $-3.8; 1$

30.21. a) $(x + 1)(x + 4) - 3\sqrt{x^2 + 5x + 2} = 6;$

б) $x^2 - 3x + \sqrt{9x^2 + x - \frac{4}{3}} = \frac{34}{27} - \frac{28x}{9}.$

а) Раскроем скобки в выражении $(x + 1)(x + 4)$:

$(x + 1)(x + 4) = x^2 + 4x + x + 4 = x^2 + 5x + 4$.

Теперь исходное уравнение $(x + 1)(x + 4) - 3\sqrt{x^2 + 5x + 2} = 6$ можно переписать в виде:

$(x^2 + 5x + 4) - 3\sqrt{x^2 + 5x + 2} = 6$.

Заметим, что выражение в скобках и выражение под корнем схожи. Это позволяет сделать замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x^2 + 5x + 2}$. Важно отметить, что по определению арифметического квадратного корня $t \ge 0$.

Из замены следует, что $t^2 = x^2 + 5x + 2$.

Тогда выражение $x^2 + 5x + 4$ можно представить как $(x^2 + 5x + 2) + 2 = t^2 + 2$.

Подставим $t$ и $t^2+2$ в уравнение:

$(t^2 + 2) - 3t = 6$.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 - 3t - 4 = 0$.

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно $-4$, а сумма равна $3$. Корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = -1$.

Так как мы установили, что $t \ge 0$, корень $t = -1$ является посторонним. Таким образом, единственное решение для $t$ — это $t=4$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{x^2 + 5x + 2} = 4$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$x^2 + 5x + 2 = 16$.

$x^2 + 5x - 14 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета: произведение корней равно $-14$, а сумма равна $-5$. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -7$.

Проверка области допустимых значений не требуется, так как мы пришли к уравнению $x^2 + 5x + 2 = 16$, где подкоренное выражение заведомо положительно.

Ответ: $2; -7$.

б) Перенесем все члены уравнения $x^2 - 3x + \sqrt{9x^2 + x - \frac{4}{3}} = \frac{34}{27} - \frac{28x}{9}$ в левую часть:

$x^2 - 3x + \frac{28x}{9} + \sqrt{9x^2 + x - \frac{4}{3}} - \frac{34}{27} = 0$.

Сгруппируем слагаемые:

$(x^2 - 3x + \frac{28x}{9} - \frac{34}{27}) + \sqrt{9x^2 + x - \frac{4}{3}} = 0$.

Приведем к общему знаменателю выражение в скобках:

$x^2 + (\frac{-27+28}{9})x - \frac{34}{27} = x^2 + \frac{1}{9}x - \frac{34}{27}$.

Уравнение принимает вид:

$x^2 + \frac{1}{9}x - \frac{34}{27} + \sqrt{9x^2 + x - \frac{4}{3}} = 0$.

Заметим, что свободные члены связаны с подкоренным выражением. Вынесем $\frac{1}{9}$ за скобку в первом слагаемом:

$\frac{1}{9}(9x^2 + x - \frac{34}{3}) + \sqrt{9x^2 + x - \frac{4}{3}} = 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \sqrt{9x^2 + x - \frac{4}{3}}$. По определению корня, $y \ge 0$.

Тогда $y^2 = 9x^2 + x - \frac{4}{3}$.

Выражение $9x^2 + x - \frac{34}{3}$ можно записать как $(9x^2 + x - \frac{4}{3}) - \frac{30}{3} = y^2 - 10$.

Подставим $y$ в уравнение:

$\frac{1}{9}(y^2 - 10) + y = 0$.

Умножим обе части на 9, чтобы избавиться от знаменателя:

$y^2 - 10 + 9y = 0$, или $y^2 + 9y - 10 = 0$.

Решим это квадратное уравнение относительно $y$. По теореме Виета: произведение корней равно $-10$, а сумма равна $-9$. Корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = -10$.

Так как $y \ge 0$, корень $y = -10$ является посторонним. Остается единственное решение $y=1$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{9x^2 + x - \frac{4}{3}} = 1$.

Возведем обе части в квадрат:

$9x^2 + x - \frac{4}{3} = 1$.

$9x^2 + x - \frac{7}{3} = 0$.

Умножим обе части на 3:

$27x^2 + 3x - 7 = 0$.

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 27 \cdot (-7) = 9 + 756 = 765$.

$\sqrt{D} = \sqrt{765} = \sqrt{9 \cdot 85} = 3\sqrt{85}$.

Корни уравнения:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 3\sqrt{85}}{2 \cdot 27} = \frac{-3 \pm 3\sqrt{85}}{54}$.

Сократим дробь на 3:

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{85}}{18}$.

Ответ: $\frac{-1 \pm \sqrt{85}}{18}$.