Номер 30.17, страница 192, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 30. Иррациональные уравнения и неравенства. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 30.17, страница 192.

30.17. a) $\sqrt{x + 1} - \sqrt{9 - x} = \sqrt{2x - 12}$;

б) $\sqrt{x} - \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 9} - \sqrt{x + 4} = 0$;

в) $\sqrt{2x + 5} + \sqrt{5x + 6} = \sqrt{12x + 25}$;

г) $\sqrt{5 + \sqrt[3]{x}} + \sqrt{5 - \sqrt[3]{x}} = \sqrt[3]{x}$.

а) $\sqrt{x+1} - \sqrt{9-x} = \sqrt{2x-12}$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:
1. $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$
2. $9-x \ge 0 \implies x \le 9$
3. $2x-12 \ge 0 \implies 2x \ge 12 \implies x \ge 6$
Кроме того, так как правая часть уравнения (арифметический квадратный корень) неотрицательна, то и левая часть должна быть неотрицательной:
$\sqrt{x+1} - \sqrt{9-x} \ge 0 \implies \sqrt{x+1} \ge \sqrt{9-x} \implies x+1 \ge 9-x \implies 2x \ge 8 \implies x \ge 4$.
Объединяя все условия ($x \ge -1, x \le 9, x \ge 6, x \ge 4$), получаем ОДЗ: $x \in [6, 9]$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x+1} - \sqrt{9-x})^2 = (\sqrt{2x-12})^2$
$(x+1) - 2\sqrt{(x+1)(9-x)} + (9-x) = 2x-12$
$10 - 2\sqrt{-x^2+8x+9} = 2x-12$
$22 - 2x = 2\sqrt{-x^2+8x+9}$
$11 - x = \sqrt{-x^2+8x+9}$
Для того чтобы снова возвести в квадрат, левая часть должна быть неотрицательной: $11-x \ge 0 \implies x \le 11$. Это условие выполняется для всех $x$ из ОДЗ.
Возводим в квадрат:
$(11-x)^2 = -x^2+8x+9$
$121 - 22x + x^2 = -x^2+8x+9$
$2x^2 - 30x + 112 = 0$
$x^2 - 15x + 56 = 0$
По теореме Виета находим корни: $x_1 = 7, x_2 = 8$.
Оба корня принадлежат ОДЗ $[6, 9]$. Выполним проверку.
Для $x=7: \sqrt{7+1} - \sqrt{9-7} = \sqrt{8}-\sqrt{2} = 2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}$. Правая часть: $\sqrt{2(7)-12} = \sqrt{14-12} = \sqrt{2}$. Равенство верно.
Для $x=8: \sqrt{8+1} - \sqrt{9-8} = \sqrt{9}-\sqrt{1} = 3-1=2$. Правая часть: $\sqrt{2(8)-12} = \sqrt{16-12} = \sqrt{4} = 2$. Равенство верно.
Ответ: $7; 8$.

б) $\sqrt{x} - \sqrt{x+1} + \sqrt{x+9} - \sqrt{x+4} = 0$
Перенесем слагаемые так, чтобы в обеих частях уравнения стояли суммы:
$\sqrt{x} + \sqrt{x+9} = \sqrt{x+1} + \sqrt{x+4}$
Найдем ОДЗ. Необходимо, чтобы все подкоренные выражения были неотрицательны: $x \ge 0, x+1 \ge 0, x+9 \ge 0, x+4 \ge 0$. Наиболее сильным из этих условий является $x \ge 0$. Таким образом, ОДЗ: $x \ge 0$.
На ОДЗ обе части уравнения неотрицательны, поэтому можно возвести их в квадрат:
$(\sqrt{x} + \sqrt{x+9})^2 = (\sqrt{x+1} + \sqrt{x+4})^2$
$x + 2\sqrt{x(x+9)} + x+9 = x+1 + 2\sqrt{(x+1)(x+4)} + x+4$
$2x + 9 + 2\sqrt{x^2+9x} = 2x + 5 + 2\sqrt{x^2+5x+4}$
$4 + 2\sqrt{x^2+9x} = 2\sqrt{x^2+5x+4}$
$2 + \sqrt{x^2+9x} = \sqrt{x^2+5x+4}$
Снова возводим в квадрат:
$(2 + \sqrt{x^2+9x})^2 = x^2+5x+4$
$4 + 4\sqrt{x^2+9x} + (x^2+9x) = x^2+5x+4$
$4\sqrt{x^2+9x} + 4x = 0$
$\sqrt{x^2+9x} + x = 0$
$\sqrt{x^2+9x} = -x$
Левая часть этого уравнения неотрицательна, значит и правая должна быть неотрицательной: $-x \ge 0$, что означает $x \le 0$.
Учитывая ОДЗ ($x \ge 0$), единственным значением, удовлетворяющим обоим условиям, является $x=0$.
Проверим $x=0$ подстановкой в исходное уравнение: $\sqrt{0} - \sqrt{0+1} + \sqrt{0+9} - \sqrt{0+4} = 0 - 1 + 3 - 2 = 0$. Равенство верно.
Ответ: $0$.

в) $\sqrt{2x+5} + \sqrt{5x+6} = \sqrt{12x+25}$
Найдем ОДЗ: $2x+5 \ge 0 \implies x \ge -2.5$; $5x+6 \ge 0 \implies x \ge -1.2$; $12x+25 \ge 0 \implies x \ge -25/12 \approx -2.08$.
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge -1.2$.
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{2x+5} + \sqrt{5x+6})^2 = (\sqrt{12x+25})^2$
$(2x+5) + 2\sqrt{(2x+5)(5x+6)} + (5x+6) = 12x+25$
$7x+11 + 2\sqrt{10x^2+37x+30} = 12x+25$
$2\sqrt{10x^2+37x+30} = 5x+14$
Прежде чем снова возводить в квадрат, отметим, что правая часть должна быть неотрицательной: $5x+14 \ge 0 \implies x \ge -2.8$. Это условие выполняется на всей ОДЗ.
Возводим в квадрат:
$4(10x^2+37x+30) = (5x+14)^2$
$40x^2+148x+120 = 25x^2+140x+196$
$15x^2+8x-76 = 0$
Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4(15)(-76) = 64 + 4560 = 4624 = 68^2$.
$x_1 = \frac{-8+68}{2 \cdot 15} = \frac{60}{30} = 2$.
$x_2 = \frac{-8-68}{2 \cdot 15} = \frac{-76}{30} = -\frac{38}{15} \approx -2.53$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge -1.2$).
$x_1 = 2$ подходит ($2 \ge -1.2$).
$x_2 = -38/15$ не подходит, так как $-38/15 < -1.2$.
Проверим корень $x=2$ подстановкой в исходное уравнение:
Левая часть: $\sqrt{2(2)+5} + \sqrt{5(2)+6} = \sqrt{9} + \sqrt{16} = 3+4=7$.
Правая часть: $\sqrt{12(2)+25} = \sqrt{24+25} = \sqrt{49} = 7$.
$7=7$. Равенство верно.
Ответ: $2$.

г) $\sqrt{5 + \sqrt[3]{x}} + \sqrt{5 - \sqrt[3]{x}} = \sqrt[3]{x}$
Сделаем замену переменной: пусть $y = \sqrt[3]{x}$. Тогда уравнение примет вид:
$\sqrt{5+y} + \sqrt{5-y} = y$
Найдем ОДЗ для $y$:
1. $5+y \ge 0 \implies y \ge -5$.
2. $5-y \ge 0 \implies y \le 5$.
3. Левая часть уравнения (сумма арифметических корней) неотрицательна, значит $y \ge 0$.
Общая ОДЗ для $y$: $y \in [0, 5]$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{5+y} + \sqrt{5-y})^2 = y^2$
$(5+y) + 2\sqrt{(5+y)(5-y)} + (5-y) = y^2$
$10 + 2\sqrt{25-y^2} = y^2$
$2\sqrt{25-y^2} = y^2 - 10$
Для возведения в квадрат правая часть должна быть неотрицательной: $y^2 - 10 \ge 0 \implies y^2 \ge 10$.
Учитывая ОДЗ $y \in [0, 5]$, получаем новое, более сильное ограничение: $y \in [\sqrt{10}, 5]$.
Возводим в квадрат:
$4(25-y^2) = (y^2 - 10)^2$
$100 - 4y^2 = y^4 - 20y^2 + 100$
$y^4 - 16y^2 = 0$
$y^2(y^2-16) = 0$
Отсюда $y^2=0$ (т.е. $y=0$) или $y^2=16$ (т.е. $y=\pm 4$).
Проверим найденные значения $y$ на принадлежность отрезку $[\sqrt{10}, 5]$ (учитывая, что $\sqrt{10} \approx 3.16$).
$y=0$ не принадлежит отрезку.
$y=-4$ не принадлежит отрезку.
$y=4$ принадлежит отрезку, так как $\sqrt{10} \le 4 \le 5$.
Единственный подходящий корень - это $y=4$.
Выполним обратную замену: $y = \sqrt[3]{x} \implies \sqrt[3]{x} = 4 \implies x = 4^3 = 64$.
Проверка: $\sqrt{5 + \sqrt[3]{64}} + \sqrt{5 - \sqrt[3]{64}} = \sqrt{5+4} + \sqrt{5-4} = \sqrt{9}+\sqrt{1} = 3+1=4$. Правая часть: $\sqrt[3]{64}=4$. Равенство $4=4$ верно.
Ответ: $64$.