Номер 30.24, страница 193, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 30. Иррациональные уравнения и неравенства. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 30.24, страница 193.

30.24. a) $\sqrt{|-2^x + 42|} = 2^x$;

б) $\sqrt{|5 + 12 \cdot 3^x - 9^x|} = 3^x - 7$.

а) $\sqrt{|-2^x+42|} = 2^x$

Данное уравнение эквивалентно системе: $$ \begin{cases} 2^x \ge 0 \\ |-2^x+42| = (2^x)^2 \end{cases} $$ Первое неравенство $2^x \ge 0$ выполняется для любого действительного $x$, так как показательная функция всегда положительна.

Решим второе уравнение: $|-2^x+42| = (2^x)^2$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$. Уравнение примет вид: $|42-t| = t^2$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $42-t \ge 0$, то есть $t \le 42$.
$42-t = t^2$
$t^2 + t - 42 = 0$
По теореме Виета, корни этого квадратного уравнения: $t_1 = 6$ и $t_2 = -7$.
Проверим соответствие условиям $t > 0$ и $t \le 42$:
$t_1 = 6$ удовлетворяет обоим условиям ($6 > 0$ и $6 \le 42$), следовательно, является корнем.
$t_2 = -7$ не удовлетворяет условию $t>0$, следовательно, не является корнем.

Случай 2: $42-t < 0$, то есть $t > 42$.
$-(42-t) = t^2$
$t-42 = t^2$
$t^2 - t + 42 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 42 = 1 - 168 = -167$.
Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Единственным решением для $t$ является $t=6$. Выполним обратную замену:
$2^x = 6$
$x = \log_2 6$

Ответ: $x = \log_2 6$

б) $\sqrt{|5+12 \cdot 3^x - 9^x|} = 3^x - 7$

Данное уравнение эквивалентно системе: $$ \begin{cases} 3^x - 7 \ge 0 \\ |5+12 \cdot 3^x - 9^x| = (3^x - 7)^2 \end{cases} $$

Решим первое неравенство (ОДЗ):
$3^x \ge 7$
$x \ge \log_3 7$

Решим второе уравнение: $|5+12 \cdot 3^x - (3^x)^2| = (3^x - 7)^2$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Учитывая ОДЗ, имеем $t \ge 7$.
Уравнение примет вид: $|5+12t - t^2| = (t - 7)^2$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака выражения $-t^2+12t+5$.
Найдем корни квадратного трехчлена $-t^2+12t+5=0$ или $t^2-12t-5=0$.
$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 144 + 20 = 164 = 4 \cdot 41$.
$t = \frac{12 \pm \sqrt{164}}{2} = \frac{12 \pm 2\sqrt{41}}{2} = 6 \pm \sqrt{41}$.
Поскольку парабола $y=-t^2+12t+5$ имеет ветви вниз, выражение $-t^2+12t+5 \ge 0$ при $t \in [6 - \sqrt{41}, 6 + \sqrt{41}]$.

Случай 1: $-t^2+12t+5 \ge 0$, то есть $t \in [6 - \sqrt{41}, 6 + \sqrt{41}]$.
Уравнение: $5+12t-t^2 = (t-7)^2$
$5+12t-t^2 = t^2 - 14t + 49$
$2t^2 - 26t + 44 = 0$
$t^2 - 13t + 22 = 0$
Корни: $t_1 = 2$, $t_2 = 11$.
Проверим корни. Условие для этого случая с учетом ОДЗ: $t \in [7, 6+\sqrt{41}]$.
$t_1=2$ не удовлетворяет условию $t \ge 7$.
$t_2=11$. Проверим $11 \in [7, 6+\sqrt{41}]$. $11 \ge 7$ (верно). $11 \le 6+\sqrt{41} \Leftrightarrow 5 \le \sqrt{41} \Leftrightarrow 25 \le 41$ (верно). Значит, $t=11$ - корень.

Случай 2: $-t^2+12t+5 < 0$, то есть $t \in (-\infty, 6 - \sqrt{41}) \cup (6 + \sqrt{41}, +\infty)$.
Уравнение: $-(5+12t-t^2) = (t-7)^2$
$t^2 - 12t - 5 = t^2 - 14t + 49$
$2t = 54$
$t = 27$
Проверим корень. Условие для этого случая с учетом ОДЗ: $t > 6+\sqrt{41}$.
$27 > 6+\sqrt{41} \Leftrightarrow 21 > \sqrt{41} \Leftrightarrow 441 > 41$ (верно). Значит, $t=27$ - корень.

Мы получили два решения для $t$: $t=11$ и $t=27$. Выполним обратную замену:
1) $3^x = 11 \implies x = \log_3 11$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ $x \ge \log_3 7$, так как $11>7$.
2) $3^x = 27 \implies 3^x = 3^3 \implies x = 3$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ $x \ge \log_3 7$, так как $3 = \log_3 27$ и $27>7$.

Ответ: $x=3; x=\log_3 11$