Номер 30.18, страница 192, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 30. Иррациональные уравнения и неравенства. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 30.18, страница 192.

30.18. a) $\sqrt{3x^2 - 2x + 15} + \sqrt{3x^2 - 2x + 8} = 7;$

б) $\sqrt{x^2 + x + 4} + \sqrt{x^2 + x + 1} = \sqrt{2x^2 + 2x + 9};$

в) $\sqrt{x^2 - 3x + 3} + \sqrt{x^2 - 3x + 6} = 3;$

г) $\sqrt{x^2 + x + 7} + \sqrt{x^2 + x + 2} = \sqrt{3x^2 + 3x + 19}.$

а) $ \sqrt{3x^2 - 2x + 15} + \sqrt{3x^2 - 2x + 8} = 7 $
Данное иррациональное уравнение решается методом введения новой переменной. Заметим, что в обоих подкоренных выражениях присутствует одинаковая часть $3x^2 - 2x$.
Пусть $ y = 3x^2 - 2x + 8 $. Тогда $ 3x^2 - 2x + 15 = y + 7 $.
Подставим новую переменную в исходное уравнение:
$ \sqrt{y + 7} + \sqrt{y} = 7 $
Область допустимых значений (ОДЗ) для $y$: $y \ge 0$ и $y + 7 \ge 0$, что равносильно $y \ge 0$.
Уединим один из корней:
$ \sqrt{y + 7} = 7 - \sqrt{y} $
Так как левая часть уравнения неотрицательна, то и правая часть должна быть неотрицательна: $7 - \sqrt{y} \ge 0$, откуда $\sqrt{y} \le 7$, что означает $0 \le y \le 49$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$ (\sqrt{y + 7})^2 = (7 - \sqrt{y})^2 $
$ y + 7 = 49 - 14\sqrt{y} + y $
$ 7 = 49 - 14\sqrt{y} $
$ 14\sqrt{y} = 42 $
$ \sqrt{y} = 3 $
$ y = 9 $
Полученное значение $y=9$ удовлетворяет условию $0 \le y \le 49$.
Теперь выполним обратную замену:
$ 3x^2 - 2x + 8 = 9 $
$ 3x^2 - 2x - 1 = 0 $
Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 $
Найдем корни уравнения:
$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 4}{6} = \frac{6}{6} = 1 $
$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 4}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} $
Оба корня являются решениями исходного уравнения.
Ответ: $x = 1; x = -\frac{1}{3}$.

б) $ \sqrt{x^2 + x + 4} + \sqrt{x^2 + x + 1} = \sqrt{2x^2 + 2x + 9} $
Введем замену. Пусть $ y = x^2 + x $. Заметим, что $ 2x^2 + 2x + 9 = 2(x^2 + x) + 9 = 2y + 9 $.
Уравнение принимает вид:
$ \sqrt{y + 4} + \sqrt{y + 1} = \sqrt{2y + 9} $
Найдем ОДЗ для $y$:
$ y + 4 \ge 0 \Rightarrow y \ge -4 $
$ y + 1 \ge 0 \Rightarrow y \ge -1 $
$ 2y + 9 \ge 0 \Rightarrow y \ge -4.5 $
Объединяя условия, получаем $ y \ge -1 $.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$ (\sqrt{y + 4} + \sqrt{y + 1})^2 = (\sqrt{2y + 9})^2 $
$ (y + 4) + 2\sqrt{(y + 4)(y + 1)} + (y + 1) = 2y + 9 $
$ 2y + 5 + 2\sqrt{y^2 + 5y + 4} = 2y + 9 $
$ 2\sqrt{y^2 + 5y + 4} = 4 $
$ \sqrt{y^2 + 5y + 4} = 2 $
Снова возведем в квадрат:
$ y^2 + 5y + 4 = 4 $
$ y^2 + 5y = 0 $
$ y(y + 5) = 0 $
Отсюда $ y_1 = 0 $ или $ y_2 = -5 $.
Проверим найденные значения по ОДЗ ($y \ge -1$).
$ y_1 = 0 $ удовлетворяет условию.
$ y_2 = -5 $ не удовлетворяет условию.
Следовательно, единственное решение для $y$ - это $y = 0$.
Выполним обратную замену:
$ x^2 + x = 0 $
$ x(x + 1) = 0 $
$ x_1 = 0 $, $ x_2 = -1 $
Оба корня являются решениями.
Ответ: $x = 0; x = -1$.

в) $ \sqrt{x^2 - 3x + 3} + \sqrt{x^2 - 3x + 6} = 3 $
Сделаем замену. Пусть $ y = x^2 - 3x + 3 $. Тогда $ x^2 - 3x + 6 = y + 3 $.
Уравнение примет вид:
$ \sqrt{y} + \sqrt{y + 3} = 3 $
ОДЗ для $y$: $y \ge 0$ и $y + 3 \ge 0$, откуда $y \ge 0$.
Уединим один из корней:
$ \sqrt{y + 3} = 3 - \sqrt{y} $
Правая часть должна быть неотрицательна: $3 - \sqrt{y} \ge 0 \Rightarrow \sqrt{y} \le 3 \Rightarrow 0 \le y \le 9$.
Возведем обе части в квадрат:
$ y + 3 = (3 - \sqrt{y})^2 $
$ y + 3 = 9 - 6\sqrt{y} + y $
$ 3 = 9 - 6\sqrt{y} $
$ 6\sqrt{y} = 6 $
$ \sqrt{y} = 1 $
$ y = 1 $
Это значение удовлетворяет условию $0 \le y \le 9$.
Выполним обратную замену:
$ x^2 - 3x + 3 = 1 $
$ x^2 - 3x + 2 = 0 $
По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно 2. Корни:
$ x_1 = 1 $, $ x_2 = 2 $
Оба корня являются решениями.
Ответ: $x = 1; x = 2$.

г) $ \sqrt{x^2 + x + 7} + \sqrt{x^2 + x + 2} = \sqrt{3x^2 + 3x + 19} $
Введем замену. Пусть $ y = x^2 + x $. Заметим, что $ 3x^2 + 3x + 19 = 3(x^2 + x) + 19 = 3y + 19 $.
Уравнение принимает вид:
$ \sqrt{y + 7} + \sqrt{y + 2} = \sqrt{3y + 19} $
Найдем ОДЗ для $y$:
$ y + 7 \ge 0 \Rightarrow y \ge -7 $
$ y + 2 \ge 0 \Rightarrow y \ge -2 $
$ 3y + 19 \ge 0 \Rightarrow y \ge -19/3 \approx -6.33 $
Общее условие: $ y \ge -2 $.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$ (\sqrt{y + 7} + \sqrt{y + 2})^2 = (\sqrt{3y + 19})^2 $
$ (y + 7) + 2\sqrt{(y + 7)(y + 2)} + (y + 2) = 3y + 19 $
$ 2y + 9 + 2\sqrt{y^2 + 9y + 14} = 3y + 19 $
$ 2\sqrt{y^2 + 9y + 14} = y + 10 $
Правая часть должна быть неотрицательной: $y + 10 \ge 0 \Rightarrow y \ge -10$. Это условие выполняется при $y \ge -2$.
Снова возведем в квадрат:
$ (2\sqrt{y^2 + 9y + 14})^2 = (y + 10)^2 $
$ 4(y^2 + 9y + 14) = y^2 + 20y + 100 $
$ 4y^2 + 36y + 56 = y^2 + 20y + 100 $
$ 3y^2 + 16y - 44 = 0 $
Решим квадратное уравнение относительно $y$. Дискриминант:
$ D = 16^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-44) = 256 + 528 = 784 = 28^2 $
$ y_1 = \frac{-16 + 28}{6} = \frac{12}{6} = 2 $
$ y_2 = \frac{-16 - 28}{6} = \frac{-44}{6} = -\frac{22}{3} $
Проверим найденные значения по ОДЗ ($y \ge -2$).
$ y_1 = 2 $ удовлетворяет условию.
$ y_2 = -22/3 \approx -7.33 $ не удовлетворяет условию.
Единственное решение для $y$ - это $y = 2$.
Выполним обратную замену:
$ x^2 + x = 2 $
$ x^2 + x - 2 = 0 $
По теореме Виета, сумма корней равна -1, а произведение равно -2. Корни:
$ x_1 = 1 $, $ x_2 = -2 $
Оба корня являются решениями.
Ответ: $x = 1; x = -2$.