Номер 30.14, страница 191, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 30. Иррациональные уравнения и неравенства. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 30.14, страница 191.

30.14. a) $\sqrt{x^4 - 3x^2 + 4} = x^2 - 5;$

б) $\sqrt{x^4 - 3x - 1} = x^2 - 1;$

в) $\sqrt{x^4 - 3x^2 + 4} = 5 - x^2;$

г) $\sqrt{x^4 - 3x - 1} = 1 - x^2.$

а) $\sqrt{x^4 - 3x^2 + 4} = x^2 - 5$

Решение иррационального уравнения вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе:

$\begin{cases} f(x) = (g(x))^2 \\ g(x) \ge 0 \end{cases}$

В данном случае $f(x) = x^4 - 3x^2 + 4$ и $g(x) = x^2 - 5$.

1. Проверим условие $f(x) \ge 0$. Выражение $x^4 - 3x^2 + 4$ можно рассмотреть как квадратный трехчлен относительно $t = x^2$ ($t \ge 0$): $t^2 - 3t + 4$. Дискриминант этого трехчлена $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$. Так как дискриминант отрицательный, а старший коэффициент положителен, то $t^2 - 3t + 4 > 0$ при любых $t$. Следовательно, подкоренное выражение $x^4 - 3x^2 + 4$ всегда положительно.

2. Основным ограничением является условие $g(x) \ge 0$:

$x^2 - 5 \ge 0$

$x^2 \ge 5$

$x \in (-\infty; -\sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}; \infty)$

3. Возведем обе части уравнения в квадрат:

$x^4 - 3x^2 + 4 = (x^2 - 5)^2$

$x^4 - 3x^2 + 4 = x^4 - 10x^2 + 25$

Приведем подобные слагаемые:

$-3x^2 + 10x^2 = 25 - 4$

$7x^2 = 21$

$x^2 = 3$

$x_1 = \sqrt{3}$, $x_2 = -\sqrt{3}$

4. Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x^2 \ge 5$.

Для обоих корней $x_1 = \sqrt{3}$ и $x_2 = -\sqrt{3}$ имеем $x^2 = 3$.

Так как $3 < 5$, условие $x^2 \ge 5$ не выполняется. Следовательно, оба корня являются посторонними.

Ответ: нет корней.

б) $\sqrt{x^4 - 3x - 1} = x^2 - 1$

Применим ту же схему решения, что и в пункте а). Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^4 - 3x - 1 = (x^2 - 1)^2 \\ x^2 - 1 \ge 0 \end{cases}$

1. Решим неравенство $x^2 - 1 \ge 0$:

$x^2 \ge 1$

$x \in (-\infty; -1] \cup [1; \infty)$

2. Решим уравнение, возведя обе части в квадрат:

$x^4 - 3x - 1 = (x^2 - 1)^2$

$x^4 - 3x - 1 = x^4 - 2x^2 + 1$

$-3x - 1 = -2x^2 + 1$

$2x^2 - 3x - 2 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.

$x_1 = \frac{3 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -0.5$

$x_2 = \frac{3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$

3. Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \in (-\infty; -1] \cup [1; \infty)$.

Для $x_1 = -0.5$: $-1 < -0.5 < 1$, корень не принадлежит области допустимых значений, значит, является посторонним.

Для $x_2 = 2$: $2 \ge 1$, корень принадлежит области допустимых значений.

Так как мы использовали равносильный переход (систему), дополнительная проверка для $x=2$ не обязательна, но для уверенности можно подставить его в исходное уравнение:

$\sqrt{2^4 - 3(2) - 1} = \sqrt{16 - 6 - 1} = \sqrt{9} = 3$

$2^2 - 1 = 4 - 1 = 3$

$3=3$, верно.

Ответ: 2.

в) $\sqrt{x^4 - 3x^2 + 4} = 5 - x^2$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^4 - 3x^2 + 4 = (5 - x^2)^2 \\ 5 - x^2 \ge 0 \end{cases}$

1. Решим неравенство $5 - x^2 \ge 0$:

$x^2 \le 5$

$-\sqrt{5} \le x \le \sqrt{5}$, то есть $x \in [-\sqrt{5}; \sqrt{5}]$

2. Решим уравнение, возведя обе части в квадрат:

$x^4 - 3x^2 + 4 = (5 - x^2)^2$

$x^4 - 3x^2 + 4 = 25 - 10x^2 + x^4$

$-3x^2 + 4 = 25 - 10x^2$

$7x^2 = 21$

$x^2 = 3$

$x_1 = \sqrt{3}$, $x_2 = -\sqrt{3}$

3. Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \in [-\sqrt{5}; \sqrt{5}]$.

Для $x_1 = \sqrt{3}$ и $x_2 = -\sqrt{3}$ имеем $x^2=3$.

Так как $3 < 5$, то $\sqrt{3} < \sqrt{5}$ и $-\sqrt{3} > -\sqrt{5}$. Оба корня удовлетворяют условию $x^2 \le 5$.

Подкоренное выражение $x^4 - 3x^2 + 4$, как было показано в пункте а), всегда положительно.

Ответ: $\sqrt{3}; -\sqrt{3}$.

г) $\sqrt{x^4 - 3x - 1} = 1 - x^2$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^4 - 3x - 1 = (1 - x^2)^2 \\ 1 - x^2 \ge 0 \end{cases}$

1. Решим неравенство $1 - x^2 \ge 0$:

$x^2 \le 1$

$-1 \le x \le 1$, то есть $x \in [-1; 1]$

2. Решим уравнение, возведя обе части в квадрат:

$x^4 - 3x - 1 = (1 - x^2)^2$

$x^4 - 3x - 1 = 1 - 2x^2 + x^4$

$-3x - 1 = 1 - 2x^2$

$2x^2 - 3x - 2 = 0$

Это то же самое квадратное уравнение, что и в пункте б). Его корни:

$x_1 = -0.5$, $x_2 = 2$

3. Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \in [-1; 1]$.

Для $x_1 = -0.5$: $-1 \le -0.5 \le 1$, корень принадлежит области допустимых значений.

Для $x_2 = 2$: $2 > 1$, корень не принадлежит области допустимых значений, значит, является посторонним.

Остался один корень $x = -0.5$. Проверим для него условие неотрицательности подкоренного выражения $x^4 - 3x - 1 \ge 0$:

$(-0.5)^4 - 3(-0.5) - 1 = (\frac{-1}{2})^4 + \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{16} + \frac{24}{16} - \frac{16}{16} = \frac{9}{16} \ge 0$.

Условие выполняется, значит, корень $x=-0.5$ является решением.

Ответ: -0.5.