Номер 30.8, страница 190, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 30. Иррациональные уравнения и неравенства. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 30.8, страница 190.

Решите уравнение:

30.8. a) $\sqrt{x - 2} = \sqrt{4 - x}$;

б) $\sqrt{x^3 - 2x^2 + 1} = \sqrt{x^3 + x^2 - 8x - 2}$;

в) $\sqrt{25 - x^2} = \sqrt{5x - 11}$;

г) $\sqrt{x^3 - x^2} = \sqrt{2 - x - x^2}$.

а)

Исходное уравнение: $\sqrt{x - 2} = \sqrt{4 - x}$.

Уравнение имеет смысл, когда подкоренные выражения неотрицательны. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} x - 2 \ge 0 \\ 4 - x \ge 0 \end{cases}$

$\begin{cases} x \ge 2 \\ x \le 4 \end{cases}$

Следовательно, ОДЗ: $x \in [2; 4]$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, так как они обе неотрицательны:

$(\sqrt{x - 2})^2 = (\sqrt{4 - x})^2$

$x - 2 = 4 - x$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а константы в другую:

$x + x = 4 + 2$

$2x = 6$

$x = 3$

Проверим, принадлежит ли найденный корень ОДЗ. Так как $3 \in [2; 4]$, корень является решением уравнения.

Ответ: $3$

б)

Исходное уравнение: $\sqrt{x^3 - 2x^2 + 1} = \sqrt{x^3 + x^2 - 8x - 2}$.

Поскольку обе части уравнения неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат. Это приведет к равносильному уравнению при условии, что подкоренные выражения неотрицательны.

$(\sqrt{x^3 - 2x^2 + 1})^2 = (\sqrt{x^3 + x^2 - 8x - 2})^2$

$x^3 - 2x^2 + 1 = x^3 + x^2 - 8x - 2$

Упростим полученное уравнение:

$-2x^2 + 1 = x^2 - 8x - 2$

$3x^2 - 8x - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 10}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ, то есть выполняется ли условие $x^3 - 2x^2 + 1 \ge 0$ (и, соответственно, $x^3 + x^2 - 8x - 2 \ge 0$, так как при найденных $x$ эти выражения равны).

Проверка для $x = 3$:

$3^3 - 2 \cdot 3^2 + 1 = 27 - 18 + 1 = 10 \ge 0$. Корень подходит.

Проверка для $x = -1/3$:

$(-\frac{1}{3})^3 - 2(-\frac{1}{3})^2 + 1 = -\frac{1}{27} - 2(\frac{1}{9}) + 1 = -\frac{1}{27} - \frac{6}{27} + \frac{27}{27} = \frac{20}{27} \ge 0$. Корень подходит.

Ответ: $-\frac{1}{3}; 3$

в)

Исходное уравнение: $\sqrt{25 - x^2} = \sqrt{5x - 11}$.

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 25 - x^2 \ge 0 \\ 5x - 11 \ge 0 \end{cases}$

$\begin{cases} x^2 \le 25 \\ 5x \ge 11 \end{cases}$

$\begin{cases} -5 \le x \le 5 \\ x \ge \frac{11}{5} \end{cases}$

Следовательно, ОДЗ: $x \in [\frac{11}{5}; 5]$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$25 - x^2 = 5x - 11$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + 5x - 36 = 0$

Решим уравнение. Найдем дискриминант:

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169 = 13^2$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-5 + 13}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{-5 - 13}{2} = \frac{-18}{2} = -9$

Проверим корни на принадлежность ОДЗ $x \in [2.2; 5]$.

Корень $x = 4$ принадлежит этому промежутку.

Корень $x = -9$ не принадлежит этому промежутку.

Следовательно, решением является только $x=4$.

Ответ: $4$

г)

Исходное уравнение: $\sqrt{x^3 - x^2} = \sqrt{2 - x - x^2}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$x^3 - x^2 = 2 - x - x^2$

Упростим уравнение:

$x^3 + x - 2 = 0$

Это кубическое уравнение. Попробуем найти целые корни среди делителей свободного члена (-2), то есть $\pm1, \pm2$.

Подставим $x = 1$: $1^3 + 1 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0$. Значит, $x = 1$ является корнем.

Разделим многочлен $x^3 + x - 2$ на $(x - 1)$:

$(x^3 + x - 2) : (x - 1) = x^2 + x + 2$

Таким образом, уравнение можно записать в виде:

$(x - 1)(x^2 + x + 2) = 0$

Это дает нам два случая:

1) $x - 1 = 0 \implies x = 1$

2) $x^2 + x + 2 = 0$. Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.

Единственный возможный корень — $x = 1$.

Проверим этот корень, подставив его в условия ОДЗ:

$x^3 - x^2 \ge 0 \implies 1^3 - 1^2 = 0 \ge 0$. Верно.

$2 - x - x^2 \ge 0 \implies 2 - 1 - 1^2 = 0 \ge 0$. Верно.

Корень $x = 1$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $1$