Номер 30.4, страница 190, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 30. Иррациональные уравнения и неравенства. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 30.4, страница 190.

Решите уравнение:

30.4. a) $\sqrt[4]{2 \sin x} = 1;$

Б) $\sqrt[4]{4 \operatorname{tg} \frac{x}{4}} = 2;$

б) $\sqrt[6]{1 - 2 \cos 4x} = \sqrt{2} - \sqrt{3};$

Г) $\sqrt[3]{2 \sin 3x + 1} = -1.$

а) Дано уравнение $\sqrt[4]{2 \sin x} = 1$.

Поскольку корень четной степени (четвертой), подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Это определяет область допустимых значений (ОДЗ):$2 \sin x \ge 0$, откуда $\sin x \ge 0$.Это означает, что $x$ должен находиться в первой или второй координатной четверти (включая границы), то есть $x \in [2\pi k, \pi + 2\pi k]$ для любого целого $k$.

Для решения уравнения возведем обе его части в четвертую степень:$(\sqrt[4]{2 \sin x})^4 = 1^4$$2 \sin x = 1$$\sin x = \frac{1}{2}$

Полученное значение $\sin x = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условию ОДЗ, так как $\frac{1}{2} > 0$.Общее решение для уравнения $\sin x = a$ имеет вид $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.В нашем случае $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$.Следовательно, общее решение уравнения:$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Дано уравнение $\sqrt[6]{1 - 2 \cos 4x} = \sqrt{2 - \sqrt{3}}$.

ОДЗ определяется условием неотрицательности подкоренного выражения для корня четной степени:$1 - 2 \cos 4x \ge 0 \implies 2 \cos 4x \le 1 \implies \cos 4x \le \frac{1}{2}$.

Возведем обе части уравнения в шестую степень. Учитывая, что $\sqrt{a} = a^{1/2}$, правая часть станет $(\sqrt{2 - \sqrt{3}})^6 = ((2 - \sqrt{3})^{1/2})^6 = (2 - \sqrt{3})^3$.$1 - 2 \cos 4x = (2 - \sqrt{3})^3$

Раскроем куб разности в правой части:$(2 - \sqrt{3})^3 = 2^3 - 3 \cdot 2^2 \cdot \sqrt{3} + 3 \cdot 2 \cdot (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^3 = 8 - 12\sqrt{3} + 6 \cdot 3 - 3\sqrt{3} = 8 - 12\sqrt{3} + 18 - 3\sqrt{3} = 26 - 15\sqrt{3}$.

Подставим это значение обратно в уравнение:$1 - 2 \cos 4x = 26 - 15\sqrt{3}$$-2 \cos 4x = 25 - 15\sqrt{3}$$2 \cos 4x = 15\sqrt{3} - 25$$\cos 4x = \frac{15\sqrt{3} - 25}{2}$

Проверим, удовлетворяет ли это решение ОДЗ. Приближенное значение $\sqrt{3} \approx 1.732$:$\frac{15 \cdot 1.732 - 25}{2} = \frac{25.98 - 25}{2} = \frac{0.98}{2} = 0.49$.Поскольку $0.49 < 0.5$, условие $\cos 4x \le \frac{1}{2}$ выполняется. Также значение $0.49$ находится в интервале $[-1, 1]$, поэтому решение существует.

Общее решение для уравнения $\cos y = a$ имеет вид $y = \pm \arccos(a) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.Следовательно:$4x = \pm \arccos\left(\frac{15\sqrt{3} - 25}{2}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$x = \pm \frac{1}{4} \arccos\left(\frac{15\sqrt{3} - 25}{2}\right) + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{1}{4} \arccos\left(\frac{15\sqrt{3} - 25}{2}\right) + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

в) Дано уравнение $\sqrt[4]{4 \operatorname{tg} \frac{x}{4}} = 2$.

ОДЗ: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, $4 \operatorname{tg} \frac{x}{4} \ge 0$, что эквивалентно $\operatorname{tg} \frac{x}{4} \ge 0$. Также сам тангенс должен быть определен, то есть $\frac{x}{4} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Возведем обе части уравнения в четвертую степень:$(\sqrt[4]{4 \operatorname{tg} \frac{x}{4}})^4 = 2^4$$4 \operatorname{tg} \frac{x}{4} = 16$$\operatorname{tg} \frac{x}{4} = 4$

Поскольку $4 > 0$, условие ОДЗ $\operatorname{tg} \frac{x}{4} \ge 0$ выполнено.Общее решение для уравнения $\operatorname{tg} y = a$ имеет вид $y = \operatorname{arctg}(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.$\frac{x}{4} = \operatorname{arctg}(4) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$x = 4 \operatorname{arctg}(4) + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 4 \operatorname{arctg}(4) + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) Дано уравнение $\sqrt[3]{2 \sin 3x + 1} = -1$.

Так как корень нечетной степени (кубический), подкоренное выражение может быть любым действительным числом. Ограничений на ОДЗ нет.

Возведем обе части уравнения в третью степень:$(\sqrt[3]{2 \sin 3x + 1})^3 = (-1)^3$$2 \sin 3x + 1 = -1$$2 \sin 3x = -2$$\sin 3x = -1$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение для $\sin y = -1$ имеет вид $y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.В нашем случае:$3x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$x = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.