Номер 30.3, страница 189, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 30. Иррациональные уравнения и неравенства. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 30.3, страница 189.

30.3. a) $\sqrt{x + 2} \cdot \sqrt{3x - 2} = 4;$

б) $\sqrt{(x + 2)(3x - 2)} = 4;$

в) $\sqrt{x - 2} \cdot \sqrt{3x + 7} = 4;$

г) $\sqrt{(x - 2)(3x + 7)} = 4.$

а) $\sqrt{x+2} \cdot \sqrt{3x-2} = 4$

Для данного уравнения необходимо, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательными. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} x+2 \ge 0 \\ 3x-2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -2 \\ 3x \ge 2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -2 \\ x \ge \frac{2}{3} \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x \ge \frac{2}{3}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x+2} \cdot \sqrt{3x-2})^2 = 4^2$

$(x+2)(3x-2) = 16$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$3x^2 - 2x + 6x - 4 = 16$

$3x^2 + 4x - 4 - 16 = 0$

$3x^2 + 4x - 20 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20) = 16 + 240 = 256$

$\sqrt{D} = \sqrt{256} = 16$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 16}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 16}{2 \cdot 3} = \frac{-20}{6} = -\frac{10}{3}$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge \frac{2}{3}$):

$x_1 = 2$. Корень подходит, так как $2 \ge \frac{2}{3}$.

$x_2 = -\frac{10}{3}$. Корень не подходит, так как $-\frac{10}{3} < \frac{2}{3}$.

Ответ: 2

б) $\sqrt{(x+2)(3x-2)} = 4$

Для данного уравнения необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Найдем ОДЗ:

$(x+2)(3x-2) \ge 0$

Нули выражения: $x = -2$ и $x = \frac{2}{3}$. Это парабола с ветвями вверх, значит, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -2] \cup [\frac{2}{3}, +\infty)$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{(x+2)(3x-2)})^2 = 4^2$

$(x+2)(3x-2) = 16$

Это уравнение идентично тому, что получилось в пункте а):

$3x^2 + 4x - 20 = 0$

Корни этого уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -\frac{10}{3}$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \in (-\infty, -2] \cup [\frac{2}{3}, +\infty)$):

$x_1 = 2$. Корень подходит, так как $2 \ge \frac{2}{3}$.

$x_2 = -\frac{10}{3}$. Корень подходит, так как $-\frac{10}{3} \approx -3.33$, что меньше $-2$.

Ответ: $-\frac{10}{3}; 2$

в) $\sqrt{x-2} \cdot \sqrt{3x+7} = 4$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x-2 \ge 0 \\ 3x+7 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 2 \\ 3x \ge -7 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 2 \\ x \ge -\frac{7}{3} \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x \ge 2$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x-2} \cdot \sqrt{3x+7})^2 = 4^2$

$(x-2)(3x+7) = 16$

$3x^2 + 7x - 6x - 14 = 16$

$3x^2 + x - 14 - 16 = 0$

$3x^2 + x - 30 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-30) = 1 + 360 = 361$

$\sqrt{D} = \sqrt{361} = 19$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 19}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 19}{2 \cdot 3} = \frac{-20}{6} = -\frac{10}{3}$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 2$):

$x_1 = 3$. Корень подходит, так как $3 \ge 2$.

$x_2 = -\frac{10}{3}$. Корень не подходит, так как $-\frac{10}{3} < 2$.

Ответ: 3

г) $\sqrt{(x-2)(3x+7)} = 4$

Найдем ОДЗ:

$(x-2)(3x+7) \ge 0$

Нули выражения: $x = 2$ и $x = -\frac{7}{3}$. Это парабола с ветвями вверх, значит, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -\frac{7}{3}] \cup [2, +\infty)$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{(x-2)(3x+7)})^2 = 4^2$

$(x-2)(3x+7) = 16$

Это уравнение идентично тому, что получилось в пункте в):

$3x^2 + x - 30 = 0$

Корни этого уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = -\frac{10}{3}$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \in (-\infty, -\frac{7}{3}] \cup [2, +\infty)$):

$x_1 = 3$. Корень подходит, так как $3 \ge 2$.

$x_2 = -\frac{10}{3}$. Корень подходит, так как $-\frac{10}{3} \approx -3.33$, а $-\frac{7}{3} \approx -2.33$, и $-3.33 \le -2.33$.

Ответ: $-\frac{10}{3}; 3$